browniano, moto

browniano, moto

Modello probabilistico utilizzato per descrivere l’evoluzione nel tempo di fenomeni rilevanti del mondo fisico, come i movimenti nello spazio di particelle immerse in un fluido, successivamente applicato con successo anche a problematiche di tipo economico-finanziario.

Processo standard di Wiener

Nome con cui è nota la versione più semplice di moto browniano. Fu usata da L. Bachelier (Théorie de la spéculation, «Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure», 3, 17, 1900) per modellare l’evoluzione nel tempo continuo di una variabile, detta guadagno cumulato, che descrive l’accumulazione di un flusso di guadagni aleatori. Il suo significato può essere meglio colto interpretandolo come passaggio al limite di un processo discreto. In tale versione, il guadagno deriva dall’esito di lanci, ripetuti a intervalli di tempo regolari Δt, di una moneta perfetta, con posta pari a (Δt)^1/2, per cui si guadagna tale posta se esce testa e la si perde se esce croce. Il guadagno aleatorio di ogni singolo lancio ha dunque media 0 e varianza Δt. Dopo n lanci indipendenti, effettuati in un tempo totale T=n Δt, il guadagno totale sarà un numero aleatorio con distribuzione binomiale di media 0 e varianza T. Questo risultato segue perché la varianza di una somma di variabili aleatorie indipendenti è la somma delle singole varianze, dunque n volte Δt, cioè proprio T. Fissato T, al tendere a 0 di Δt, ovvero a infinito di n, tale distribuzione tende a una normale di media nulla e varianza T. Al variare di T sull’insieme dei numeri reali non negativi, la famiglia di tali distribuzioni è detta processo di Wiener standard. Si tratta di un processo a incrementi indipendenti su intervalli disgiunti, con valore iniziale W(0)=0 e incrementi Δt che in ogni intervallo di ampiezza Δt sono variabili normali di media 0 e varianza Δt. La rappresentazione geometrica di una traiettoria del processo è data da un grafico continuo, ma non derivabile in alcun punto.

Varianti di processi b. si ottengono considerando trasformazioni lineari del processo di Wiener standard. Per descrivere il processo, si usano in questi casi equazioni differenziali stocastiche di tipo lineare dA=mdt+sdW. I coefficienti m e s sono costanti, nei casi più semplici, o, più in generale, funzioni della coppia di variabili t, A; m e s si chiamano ‘deriva’ e ‘volatilità’ del processo. In caso di costanza dei coefficienti, la soluzione dell’equazione differenziale, tenuto conto della condizione iniziale W(0)=0, è il processo aleatorio A(t, W)=mt+sW(t). Ciascuna variabile del processo è normale con media mt e varianza s²t.

Moti browniani geometrici e frazionari

Il moto b. geometrico, particolarmente significativo nelle applicazioni finanziarie, è utilizzato per descrivere l’evoluzione nel tempo del prezzo di azioni. Corrisponde all’equazione differenziale stocastica dA=mAdt+sAdW equivalente alla dA/A=mdt+s dW. Il rapporto dA/A corrisponde al saggio istantaneo di rendimento dell’azione. La speranza matematica del saggio istantaneo di rendimento è pari a m dt, la sua varianza è s²dt. La soluzione dell’equazione differenziale, tenuto conto della condizione iniziale A(0)=A0, è il processo aleatorio A(t)=A0 exp((m−0,5s²)t+sW(t)). Il prezzo dell’azione ha distribuzione lognormale. L’ipotesi di lognormalità del prezzo dell’azione è alla base della formula di Black-Scholes (➔ Black-Scholes, formula di) per la valutazione di opzioni call (➔ call option) su sottostante azionario. Applicazioni più sofisticate considerano moti b. geometrici multidimensionali (R. Merton, Optimal consumption and portfolio rules in a continuous-time model, «Journal of Economic Theory», 3, 4, 1971), che consentono di analizzare l’evoluzione dei prezzi di portafogli di attività finanziarie e di derivati su tali portafogli.

Un’altra variante è costituita dai moti b. frazionari, introdotti da B. Mandelbrot e W. Van Ness (Fractional brownian motions, fractional noises and applications, «SIAM Review», 10, 4, 1968), ritenuti particolarmente utili nell’analisi di serie storiche per le loro proprietà di autosimilarità (invarianza dei comportamenti rispetto alla scala utilizzata per descrivere il fenomeno).