omotopia

omotopia

Formalizzazione della nozione intuitiva di deformabilità di un’applicazione in un’altra. Più precisamente, due applicazioni f e g dello spazio topologico X nello spazio topologico Y sono dette omotope (in simboli f∼g) se esiste una famiglia di funzioni continue f_t:X→Y dipendente con continuità dal parametro t∈[0,1] tale che f₀=f e f₁=g. Questo significa che l’applicazione F:[0,1]×X→Y definita dalla formula F(x,t)=f_t(x) è continua. L’applicazione F è detta omotopia tra f e g e non è altro che una curva continua nello spazio C(X,Y) di tutte le applicazioni continue di X in Y che connette il punto f con il punto g. Un’omotopia tra due applicazioni è dunque un caso particolare del concetto generale di connessione per archi (curve continue). L’omotopia è, in particolare, una relazione di equivalenza le cui classi (dette classi di omotopia) non sono altro che le componenti connesse di C(X,Y). L’insieme di queste classi di equivalenza si indica con il simbolo [X,Y]. Per es., sia C un sottoinsieme convesso di ℝⁿ e siano f,g:X→C due applicazioni continue qualunque. Per definizione di convessità, la linea retta che collega due punti arbitrari di C è contenuta interamente in C e possiamo dunque definire F:[0,1]×X→Y tramite la formula F(x,t)=(1−t)f(x)+tg(x). F è chiaramente un’omotopia tra f e g. La nozione di omotopia può anche essere utilizzata per confrontare due spazi topologici X e Y, generalizzando il concetto di continua deformabilità di uno spazio in un altro. Due spazi X e Y saranno infatti detti equivalenti per omotopia (X∼Y) se esistono applicazioni f:X→Y e g:Y→X tali che la composizione f∘g è omotopa alla mappa identità di Y in Y e g∘f all’identità di X in X. Il tipo d’omotopia di uno spazio è la sua classe rispetto a questa relazione d’equivalenza tra spazi topologici. Se X∼X′ allora esiste una corrispondenza biunivoca tra [Z,X] e [Z,X′] per ogni Z. Il caso Z=Sⁿ (la sfera n-dimensionale) riveste particolare importanza in quanto è allora possibile dotare l’insieme [Sⁿ,X] di una struttura di gruppo: è questo il gruppo di omotopia (n-dimensionale) π_n dello spazio X.

→ Equazioni differenziali: problemi non lineari