Onde marine
Onde marine
Generalità
Le onde marine, indicate frequentemente con la notazione di onde random, sono onde di gravità generate dal vento in conseguenza del trasferimento di energia operato da questo verso il mare. Sono costituite da onde irregolari in quanto esibiscono un profilo che non si ripete identico a ogni periodo d'onda, come mostra la fig. 2, che identifica ogni onda irregolare attraverso lo schema detto zero-upcrossing.
Una successione di onde marine a posizione fissata e al passare del tempo individua uno stato di mare nel dominio del tempo mentre una successione di tali onde a tempo fissato e al variare della posizione conduce a uno stato di mare nel dominio dello spazio, su un'area. Esempi dei due tipi di stati di mare, costruiti a partire da simulazioni numeriche, sono riportati nella fig. 3, che rende evidente (con la rappresentazione a silhouette adottata) la tendenza al raggruppamento esibita dalle onde, che risulta di notevole rilevanza fisica in quanto l'energia del moto ondoso si propaga con la velocità dei gruppi e non con la velocità delle singole onde. La fig. 4, che corrisponde a una situazione di mare mediamente sviluppato, mostra la tridimensionalità dei fronti d'onda (quindi il loro spezzettamento) dovuta alla dispersione direzionale dell'energia attorno alla direzione media del moto ondoso d'insieme.
Le onde marine considerate sono associate a stati di mare nel dominio del tempo. Esse sono regolate da un processo stocastico che presenta le caratteristiche di stazionarietà (invarianza delle proprietà statistiche con il tempo) e di ergodicità (possibilità di adottare una sola realizzazione del processo, quindi un solo stato di mare, per individuare il comportamento delle predette proprietà) e sono descritte usualmente attraverso modelli lineari, ai quali viene fatto riferimento costante anche se non esclusivo nel seguito. Tali modelli, tuttavia, possono risultare inadeguati per descrivere stati di mare caratterizzati da alte ripidità, per i quali è necessario ricorrere a modelli non lineari.
Si ritiene che le onde marine, come mostra la fig. 5, siano il risultato di onde regolari elementari (onde componenti) con diversa altezza, diverso periodo, diversa direzione, e sfasate tra loro in modo aleatorio. La notazione di onda elementare indica un'onda caratterizzata da un'altezza molto piccola rispetto alla deviazione standard degli spostamenti verticali del profilo delle predette onde marine.
Proprietà statistiche delle onde marine
Le proprietà statistiche illustrate riguardano: le distribuzioni esibite dagli spostamenti verticali, dalle altezze e dai periodi delle onde marine; le onde massime attese negli stati di mare; gli aspetti di quasi-determinismo presentati dal processo stocastico.
Le predette proprietà sono precisate principalmente nella condizione di profondità infinita, cioè al largo, ricordando che la distinzione tra profondità infinita e profondità finita (suddivisa a sua volta in profondità intermedia e bassa profondità) viene correlata al valore che assume il rapporto h/L tra la profondità h del fondale e la lunghezza d'onda L di riferimento. Tipicamente la profondità è infinita quando h/L≥0,5, mentre la profondità finita è intermedia quando 0,05〈h/L〈0,5 ed è bassa quando h/L≤0,05.
Spostamenti verticali del profilo d'onda
Gli spostamenti verticali η del profilo delle onde marine, positivi quando il profilo si svolge al di sopra del livello di quiete e negativi quando si svolge al di sotto, presentano una media μη uguale a zero e si distribuiscono secondo una gaussiana. Essi conducono a una varianza ση2 che consente di determinare la densità di energia Esm dello stato di mare (energia per unità di area orizzontale), in quanto risulta
[1] Esm = ϱgση2
dove ϱ è la densità dell'acqua e g è l'accelerazione di gravità. In campo non lineare, la media μη è diversa da zero e la distribuzione può essere interpretata, tra le altre, attraverso una Gram-Charlier che involve lo skewness e l'eccesso sul kurtosis, non più nulli contrariamente a quanto avviene per una gaussiana.
Altezze d'onda
Le distribuzioni qui descritte per le altezze H delle onde marine sono: la distribuzione convenzionale di Rayleigh suggerita da Michael S. Longuet-Higgins nel 1952, la distribuzione empirica ricavata da George Z. Forristall nel 1978 e la distribuzione teorica proposta da Paolo Boccotti nel 2000 e rivolta alle onde più alte.
Tali distribuzioni presentano, nell'ordine, le seguenti funzioni densità di probabilità:
[2] formula
[3] formula
[4] formula
dove Rmin indica il valore (negativo) del minimo assoluto assunto dalla funzione di autocorrelazione normalizzata R(τ), espressa dalla
[5] formula
in cui 〈〉 indica un'operazione di media nel tempo.
Le distribuzioni indicate sono state suggerite per la condizione di profondità infinita. La distribuzione di Rayleigh, tuttavia, è utilizzata di frequente anche per la condizione di profondità finita intermedia e può essere associata, tra le altre, a una distribuzione introdotta da Jurjen A. Battjes e Heiko W. Groenendijk (2000) per la condizione di bassa profondità e costituita da una bi-Weibull.
Periodi d'onda
La distribuzione riportata per i periodi T delle onde marine è quella, ormai classica, ricavata da Charles L. Bretschneider (1959) e caratterizzata dalla seguente funzione densità di probabilità
[6] formula
dove Tm è il periodo d'onda medio.
Tale distribuzione è utilizzata sia nella condizione di profondità infinita sia in quella di profondità finita intermedia, tenuto presente che nella prima condizione si può porre, seguendo Boccotti (2000),
[7] Tm = 0,78Td
in cui Td è il periodo dominante valutato, a sua volta, attraverso la
[8] formula.
Onde marine massime attese
Le onde marine massime attese in stati di mare costituiti da successioni di N onde presentano un'altezza Hmax che può essere determinata, indipendentemente dalla condizione di profondità, in base alla
[9] formula
dove Q(H) indica la funzione probabilità di superamento riferita alle altezze H. Adottando la distribuzione di Rayleigh risulta:
[10] formula
e, di conseguenza, la [9] si precisa nella
[11] formula.
Aspetti di quasi-determinismo
La teoria del quasi-determinismo formulata da Boccotti per le onde più alte conduce a conseguenze di rilievo, due delle quali, riferite alle condizioni di profondità infinita, sono riportate qui di seguito.
Un'onda marina con un'altezza Hg grande rispetto alla deviazione standard ση può essere ritenuta generata dal passaggio di un gruppo di onde costituito da una componente deterministica, dipendente dalla funzione di autocorrelazione riferita agli spostamenti verticali η, e da una componente non deterministica, che si mantiene di ordine inferiore rispetto alla precedente e tende a zero quando il rapporto Hg/ση tende, a sua volta, a infinito.
I periodi T associati alle altezze H delle onde marine manifestano una notevole dispersione nel campo delle altezze medie. La dispersione si attenua progressivamente nel campo delle altezze più alte, dove i periodi assumono un comportamento quasi-deterministico e tendono a un valore asintotico che viene a dipendere sostanzialmente dalla deviazione standard ση.
Rappresentazione degli stati di mare
Indipendentemente dalle condizioni di profondità, gli stati di mare possono essere rappresentati attraverso: (a) gli spettri di energia, considerati per la prima volta nel campo dell'idraulica marittima da Norman F. Barber e Fritz Ursell; (b) le onde caratteristiche, e in particolare le onde significative introdotte da Harald U. Sverdrup e Walter H. Munk; (c) le onde spettrali, definite a partire da tali spettri.
Spettri di energia
Gli spettri di energia qui considerati sono costituiti dagli spettri in frequenza S(f ) e dagli spettri direzionali S(f,θ). I primi coinvolgono la sola frequenza f, i secondi anche l'angolo θ che la direzione dell'onda elementare presa in esame forma con la direzione media del moto ondoso d'assieme, come mostra la fig. 5.
Gli spettri in frequenza S(f ) possono essere espressi, nel campo reale, attraverso la formula
[12] formula
che considera frequenze f e tempi τ contenuti nell'intervallo [0,∞] e costituisce la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione dimensionale R(τ) ottenuta a partire dalla [5] moltiplicata per la varianza ση2.
Gli spettri [12] così definiti corrispondono all'andamento descritto nella fig. 6, dove fp indica la frequenza di picco, ovvero la frequenza relativa al valore massimo di S(f ). La relazione [12] consente di individuare sia la densità di energia Esm degli stati di mare sia la distribuzione di tale densità rispetto alle frequenze f delle onde elementari, tenuto presente che la densità di energia attribuita a ogni frequenza f è data dalla somma delle densità di energia di tutte le onde elementari che hanno diversa direzione ma posseggono tale frequenza. Con la stessa relazione si possono costruire dei profili η delle onde marine appartenenti, nel dominio del tempo, a stati di mare caratterizzati dai predetti spettri. In particolare, la densità di energia Esm e i profili η sono espressi, adottando un formalismo introdotto da Blair Kinsman, dalle
[13] formula
[14] formula
in cui m0 indica il momento di ordine zero degli spettri e ε(f ) rappresenta la fase random, distribuita uniformemente nell'intervallo [0,2π]. Inoltre, la [13] confrontata con la [1] conduce all'importante constatazione che tale momento coincide con la varianza degli spostamenti verticali, cioè
[15] m0 = ση2.
Uno spettro in frequenza citato spesso è lo spettro JONSWAP medio, ricavato da Klaus Hasselmann e collaboratori (1973) per la condizione di profondità infinita e dato dalla
[16] formula
dove α, γ e ω sono, rispettivamente, il parametro di equilibrio, il parametro di amplificazione e il parametro di forma dello spettro attorno al picco.
Gli spettri direzionali S(f,θ) possono essere espressi, nel campo reale, attraverso la
[17] S(f, θ) = S(f )D(f, θ)
in cui D(f,θ) è la funzione di distribuzione direzionale dell'energia. Essa può essere posta nella forma seguente suggerita per la condizione di profondità infinita da Longuet-Higgins
[18] formula
dove sd è l'indice della distribuzione dell'energia e A è un fattore di normalizzazione che assicura la condizione
[19] formula.
Gli spettri [18] così definiti consentono di individuare sia la densità di energia degli stati di mare sia la distribuzione di tale densità, non solo rispetto alle frequenze f ma anche rispetto agli angoli θ presentati dalle direzioni delle onde elementari. Essi rendono possibile, adeguando opportunamente la [14], la costruzione dei profili delle onde marine appartenenti, nel dominio dello spazio, a quegli stati di mare che caratterizzano.
Onde caratteristiche
Le onde caratteristiche associate a stati di mare costituiti da successioni di N onde marine sono rappresentate da onde regolari e sono definite in base a ben precise frazioni delle onde più alte appartenenti alle successioni stesse.
In dettaglio, l'onda caratteristica di indice 1/n (con n non inferiore a uno) corrisponde all'onda regolare con un'altezza H1/n data dalla media delle altezze H delle onde marine componenti la frazione N/n delle onde più alte. Il suo periodo TH1/n è espresso dalla media dei periodi T delle onde che concorrono a determinare l'altezza H1/n.
Adottando il procedimento statistico, l'altezza H1/n e il relativo periodo TH1/n sono ottenuti dalle formule
[20] formula
[21] formula
[22] formula
dove i è un indice introdotto per identificare le altezze delle onde marine dopo averle ordinate in ordine crescente: Hi=HN corrisponde allora all'onda più bassa e Hi=H1 a quella più alta. L'indice j rappresenta invece il valore di i relativo alla prima altezza Hi=Hj da considerare per individuare le N/n altezze da prendere in esame (se j non risulta un intero si approssima all'intero successivo); T(Hi) indica il periodo dell'onda marina che ha altezza Hi.
Adottando il procedimento probabilistico, che richiede la conoscenza della funzione densità di probabilità p(H) e la funzione probabilità di superamento Q(H), le [20] e [22] vengono sostituite dalle
[23] formula[24]
Q(Hj) = 1/n
dove la [23] può essere riscritta nella forma equivalente
[25] formula
in quanto l'integrale a denominatore della frazione a secondo membro della [24] coincide con la probabilità di superamento Q(Hj).
Le [16] e [17] precisate con la distribuzione di Rayleigh conducono alle espressioni
[26] formula
[27] formula
dove
Queste espressioni ‒ normalizzate con la deviazione standard ση e riferite alle onde caratteristiche medie (1/n=1/1), significative (1/n=1/3), un decimo (1/n=1/10) e un centesimo (1/n=1/100), le più utilizzate ‒ danno luogo ai valori riportati nella tab. 1, dove sono rappresentati anche i valori dei periodi caratteristici normalizzati con il periodo dominante Td fornito, nella condizione di profondità infinita, dalla [8].
Le onde caratteristiche sono in generale completate con le onde quadratiche medie. Queste presentano un'altezza Hq definita, con il procedimento statistico, dalla
[28] formula
e, con il procedimento probabilistico, da
[29] formula.
Adottando la distribuzione di Rayleigh, la [29] conduce a Hq /ση=2,83.
Onde spettrali
Le onde spettrali sono definite a partire dagli spettri in frequenza e sono costituite da onde regolari che presentano un'altezza Hm0 e un periodo THm0 dati dalle
[30] Hm0 = 4m00,5
[31] THm0 = Tp
dove Tp=1/fp è il periodo di picco, che può essere considerato eguale al periodo dominante Td. Le equazioni precedenti, associate alla [15] e alla tab. 1, mettono in evidenza che l'altezza Hm0 coincide con l'altezza significativa H1/3 corrispondente alla distribuzione di Rayleigh e inoltre che il periodo THm0 risulta maggiore del 5% rispetto al periodo significativo TH1/3.
Onde caratteristiche e onde spettrali interpretate come onde stokiane
Le onde caratteristiche e le onde spettrali sono rappresentate, come avviene anche per le onde elementari, attraverso onde progressive bidimensionali considerate nel campo lineare e ottenute a partire dal metodo di approssimazione relativo alle onde infinitesime che conduce alle onde stokiane. Il metodo utilizza un procedimento perturbativo e adotta, nell'impostazione delle equazioni di base sulle quali si fonda, le seguenti assunzioni: (a) fluido incomprimibile a comportamento ideale sottoposto al campo di forze gravitazionale; (b) moto irrotazionale; (c) effetti conseguenti alla tensione superficiale all'interfaccia aria-acqua trascurabili; (d) fondo orizzontale (su profondità finita) rigido e impermeabile. Ciò è possibile perché nella propagazione del moto ondoso sulle profondità decrescenti si può contare, date le modeste pendenze degli usuali fondali marini, su un adeguamento continuo delle caratteristiche delle onde alle diverse profondità. Tale fatto autorizza l'impiego delle relazioni ricavate per fondo orizzontale.
Il campo lineare corrisponde in particolare a serie perturbative troncate al primo termine, che danno luogo a onde stokiane al primo ordine di approssimazione le quali esibiscono le seguenti caratteristiche: (a) un profilo d'onda ηr cosinusoidale; (b) una lunghezza d'onda Lr e una velocità d'onda (o velocità di fase) cr che, a parità di periodo Tr, decrescono al ridursi della profondità h; (c) una velocità di gruppo cgr che tende alla velocità di fase sulle basse profondità; (d) una densità di energia Er che è proporzionale al quadrato dell'altezza d'onda Hr; (e) un flusso di energia Efr per unità di larghezza di cresta che coinvolge la densità di energia e la velocità di gruppo (l'indice r sta a significare la grandezza riferita all'ordine stokiano di riferimento).
I comportamenti illustrati si deducono dalle seguenti relazioni:
[32] formula
[33] formula
[34] formula
[35] formula
[36] formula
[37] formula
in cui kr=2π/Lr è il numero d'onda, σr=2π/Tr è la frequenza angolare e x indica la coordinata lungo un asse orientato nella direzione e nel verso del moto ondoso. È importante osservare che le condizioni di profondità, infinita o finita, riferite alle onde marine, sono valutate generalmente assumendo come lunghezza d'onda quella corrispondente al periodo di picco dello spettro e quindi al periodo dell'onda spettrale.
Condizioni limite per le onde marine
Le altezze H delle onde marine non possono superare altezze limite, chiamate altezze di frangimento Hf .
Esse possono essere determinate in base alla
[38] formula
ottenuta adattando a tali onde una relazione empirica suggerita da Yoshimi Goda e qui scritta nella sua forma più completa che coinvolge anche la pendenza s del fondale.
In dettaglio, la [38] deve essere modificata come segue: (a) riferita alla condizione di profondità infinita, perde la dipendenza dalla profondità h e dalla pendenza s e può essere precisata con A=0,125; (b) riferita alla condizione di profondità finita intermedia, perde la dipendenza dalla pendenza s e può essere precisata ancora con A=0,125; (c) riferita alla condizione di bassa profondità, dove mantiene la dipendenza completa, presenta valori di A compresi tra 0,11 e 0,125.
La stessa [38] può essere adottata per individuare le altezze al frangimento (Hm0)f delle onde spettrali, a patto di modificare i valori di A. Essi diventano uguali a 0,14 nelle condizioni di profondità infinita e di profondità finita intermedia e compresi tra 0,12 e 0,14 nella condizione di bassa profondità. Tra l'altro, è interessante rilevare che il frangimento dell'onda spettrale avviene quando hanno già franto circa il 15% delle onde marine appartenenti a tale stato di mare.
Anche gli spettri di energia non possono superare forme limite interpretate dagli spettri di saturazione. Seguendo Evert Bouws e i suoi collaboratori (1985), gli usuali spettri in frequenza suggeriti da diversi autori per la condizione di profondità infinita, come lo spettro JONSWAP, sono da ritenersi spettri di saturazione. I corrispondenti spettri nelle condizioni di profondità finita intermedia e di bassa profondità possono essere ottenuti dai primi, moltiplicati per una funzione di forma ϕK ricavata da Sergej A. Kitaigoroskii (1975) ed espressa dalla
[39] formula
dove ξ è la profondità h adimensionalizzata data dalla
[40] formula
e χ è la funzione ricavata dalla
[41] χtanh(χξ2) = 1.
In particolare, la funzione di forma così definita conduce a un'attenuazione degli spettri di saturazione al ridursi della profondità, come mostra la fig. 7.
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