Banach-Tarski, paradosso di
Banach-Tarski, paradosso di
Banach-Tarski, paradosso di paradosso stabilito dai due matematici nel 1924; è una delle conseguenze singolari che deriva dall’includere l’assioma della → scelta nella teoria assiomatica degli insiemi di → Zermelo-Fraenkel. Esso consiste nel dimostrare, avvalendosi dell’assioma della scelta, che una sfera può essere scomposta in un numero finito di parti, con le quali, utilizzando solo rotazioni e traslazioni, si può poi ricomporre una sfera di raggio doppio. Sebbene ciò possa apparire incoerente, non si tratta di una contraddizione, poiché le parti in cui la sfera viene scomposta non sono misurabili e quindi i volumi delle due sfere non sono confrontabili: ciò evita che si possa arrivare a una conclusione assurda. Il paradosso si basa perciò sull’esistenza di un insieme limitato non misurabile utilizzando la misura di Lebesgue. In termini più formali, il paradosso di Banach-Tarski afferma che ogni palla B in R3 è equiscomponibile in due suoi sottoinsiemi U e V propri e disgiunti. In formule, B = U ∪ V, U ∩ V = ∅, ma anche U ~ B ~ V, dove la equiscomponibilità ~ è la relazione di equivalenza che sussiste tra due insiemi X e Y se esistono n sottoinsiemi disgiunti Xk e n rototraslazioni rk tali che X = ∪k Xk, Y = ∪k rk(Xk). In forma ancora più forte, il paradosso di Banach-Tarski afferma che due sottoinsiemi di Rn dotati di punti interni sono equiscomponibili. Il ricorso all’assioma della scelta fa sì che i sottoinsiemi non siano effettivamente costruibili. Tali sottoinsiemi non possono essere tutti misurabili, per non contraddire il teorema di additività della misura.