parita

parita

parità termine che indica le proprietà di simmetria del grafico di una funzione. Una funzione ƒ: R → R si dice pari se per ogni valore x del suo insieme di definizione risulta ƒ(−x) = ƒ(x). Sono pari, per esempio, le funzioni x ²ⁿ, |x|, cosx, coshx. Si dice invece dispari una funzione ƒ: R → R per la quale, per ogni valore x per la quale è definita, risulta ƒ(−x) = −ƒ(x). Sono pertanto dispari le funzioni x ²ⁿ⁺¹, sinx, tanx. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate; quello di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine. La somma di funzioni pari è pari, la somma di funzioni dispari è dispari. Il prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari è pari; il prodotto di una funzione pari per una dispari è dispari. La derivata di una funzione pari è dispari e viceversa. Lo sviluppo in serie di → Maclaurin di una funzione pari (dispari) contiene solo le potenze pari (dispari) della variabile. Ogni funzione ƒ(x) avente insieme di definizione simmetrico rispetto all’origine si può decomporre nella somma della funzione pari

e della funzione dispari

È così, per esempio, e^x = coshx + sinhx.

La parità è un caso particolare della simmetria rispetto a una retta o a un punto: se ƒ(2h − x) = ƒ(x), il grafico di f è simmetrico rispetto alla retta x = h; se ƒ(2h − x) = −ƒ(x) il grafico di f è simmetrico rispetto al punto (h, 0). La nozione si estende a funzioni di due o più variabili, con riferimento a una o più di esse. Per esempio, se ƒ(−x, y) = ƒ(x, y) si dirà che ƒ è pari rispetto a x; se ƒ(−x, −y) = ƒ(x, y) si ha parità rispetto all’origine.

Nel caso di funzioni razionali le funzioni pari sono quelle con tutti i termini di grado pari.