polare
polare
polare di un punto P, rispetto a una conica nel piano proiettivo, è il luogo dei punti P′ tali che P e P′ sono separati armonicamente (→ birapporto) dalle intersezioni della loro congiungente con la conica. La polare di un punto è una retta e il punto rispetto al quale viene determinata è detto polo. La polare di un punto appartenente alla conica coincide con la tangente alla conica in quel punto. Tra poli e polari vale un teorema di reciprocità: se la polare di un punto A passa per un punto B, allora la polare di B passa per il punto A. La polare di un punto P rispetto a una conica γ si può costruire graficamente nel modo che segue:
• se P è esterno a γ, la polare di P è la retta che unisce i punti in cui le tangenti condotte da P toccano la conica;
• se P appartiene a γ, la polare di P è la tangente condotta da P alla conica;
• se P è interno a γ, si tracciano due rette r e s per P, si determina il punto R in cui si intersecano le tangenti condotte dai punti di intersezione tra r e γ e il punto S in cui si intersecano le tangenti condotte dai punti di intersezione tra s e γ. La retta RS è la polare di P.
Più in generale, si può definire la polare di un punto del piano proiettivo rispetto a una curva algebrica piana di ordine n. Fissato il polo P, di coordinate omogenee (x0*, x1*, x2*) e la curva algebrica γ* di ordine n di equazione ƒ(x0, x1, x2) = 0, la polare di P rispetto a γ* è una curva algebrica di ordine h − 1, di equazione
La polare contiene tutti gli eventuali punti singolari della curva e i punti di contatto delle rette tangenti alla curva passanti per essa. Si definisce polare seconda di P rispetto alla curva γ, la polare di P rispetto a γ*; analogamente viene definita la polare terza e, per ricorrenza, la polare di ordine k ≤ n − 1. La polare di ordine è una retta ed è in particolare la tangente alla curva se il polo appartiene alla curva.