principio variazionale

principio variazionale

Corrispondenza tra le soluzioni di un’assegnata equazione differenziale e i punti critici di un opportuno funzionale. I modelli della fisica matematica sono essenzialmente scritti mediante equazioni differenziali a cui si aggiungono le condizioni al contorno e/o iniziali; in molti casi, le soluzioni possono essere riguardate come punti stazionari di un opportuno funzionale associato al sistema, detto funzionale d’azione (o funzionale energia). Per es., le equazioni del moto di un sistema di k particelle di massa m_j e con posizione assegnata al tempo t da x_j(t)∈ℝ³, j=1,...,k, sono ottenute come equazioni di Euler-Lagrange relative al funzionale

dove U rappresenta l’energia potenziale del sistema. Per intervalli di tempo (t₀,t₁) sufficientemente piccoli, si può dimostrare che tra tutte le possibili traiettorie, il sistema x_j si evolve lungo la traiettoria che minimizza l’azione S (principio di minima azione). Analogamente, la dinamica di un campo, Ψ(x,t):ℝ³⁺¹→ℝ^k, è ottenuta considerando punti stazionari dell’azione

dove ℒ è la densità lagrangiana del sistema.

→ Fisica matematica; Variazioni, calcolo delle