PROGRESSIONE
. Algebra. - Nell'analisi algebrica si dice progressione una successione di un numero finito o infinito di termini, la quale venga costruita mediante una legge data.
Specialmente usate sono le progressioni aritmetica e geometrica.
Progressione aritmetica. - Si chiama progressione aritmetica o per differenza una successione:
di numeri tali che la differenza fra un numero e quello che lo precede immediatamente sia una costante data d, che si chiama la differenza o anche la ragione della progressione. In altri termini si ha:
Esempî di progressioni aritmetiche si possono costruire facilmente e sono noti nelle matematiche fino dalla più remota antichità. È certo infatti che nella scuola pitagorica (500 a. C. circa) si era già osservato che le frequenze di vibrazione di una corda omogenea, tesa e fissata in due punti, formano una progressione aritmetica.
Il più semplice caso di una tale progressione è del resto offerto dalla serie naturale dei numeri:
che costituisce una progressione aritmetica (illimitata) di ragione 1. Una progressione limitata è invece quella formata, ad es., dai primi 5 numeri interi 1, 2, ..., 5. Similmente è una progressione aritmetica la serie:
dei numeri pari e in generale la serie dei multipli successivi di un dato numero n. Numerosissimi altri esempi si potrebbero dare, poiché, come si è visto dai casi citati, basta far variare la ragione per ottenere, partendo dallo stesso numero, una nuova progressione.
Le progressioni aritmetiche godono di alcune semplici proprietà.
Anzitutto: l'n-esimo termine di una tale progressione si ottiene dal primo, aggiungendo ad esso n − 1 volte la ragione. In simboli:
Questa relazione permette di determinare una qualunque delle quattro quantità a1, an, n, d quando ne siano date tre.
Un'applicazione di questa relazione si ha nel problema dell'inserzione di k medî aritmetici fra due numeri a e b. Questo problema consiste nell'inserire tra due numeri a, b (a 〈 b) k numeri x1, x2, ..., xk in modo che:
formino una progressione aritmetica.
L'incognita ragione deve soddisfare l'equazione b = a + (k + 1) d, e quindi si ha:
Ne segue:
Inoltre: Per una progressione aritmetica limitata, la somma di due termini qualunque equidistanti dagli estremi è uguale alla somma degli estremi stessi.
Da qui segue facilmente il teorema: La somma dei primi n termini in una progressione aritmetica è data dalla semisomma del primo e dell'n-simo termine, moltiplicata per n.
Progressione geometrica. - Si chiama progressione geometrica o per quoziente una successione:
di numeri tali che il quoziente fra un numero e quello che lo precede immediatamente sia un numero costante q, che si chiama ragione della progressione.
Le progressioni geometriche erano note ai geometri greci e anzi si può quasi sicuramente affermare che ad essi non era nemmeno ignoto il fatto che, in certe circostanze, la somma di un numero infinito di quantità in progressione geometrica può dar luogo a un risultato finito. Infatti il noto paradosso di Zenone, consistente nell'affermazione che è impossibile passare da A in B, senza passare per il punto medio C di AB e poi per il punto medio del segmento CB e così all'infinito, conduce direttamente a ricercare la somma degl'infiniti numeri (v. serie):
che costituiscono una progressione geometrica di ragione =⃓. Similmente Democrito riconduce il calcolo del volume della piramide alla somma:
Nelle matematiche moderne la scrittura di una frazione sotto forma di numero decimale periodico equivale precisamente a esprimerla come somma d'infiniti numeri costituenti una progressione geometrica. Così, ad es., il numero
si può scrivere:
e ciò equivale a dire che è:
Le proprietà della progressione geometrica sono analoghe a quelle della progressione aritmetica. Così si hanno le proposizioni:
Il termine n-esimo di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine per l'(n − 1)-esima potenza della ragione.
In una progressione geometrica limitata il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è uguale al prodotto degli estremi.
Inoltre: il prodotto dei primi n numeri di una progressione geometrica è dato dalla radice quadrata del prodotto del primo e dell'ultimo termine elevata all'esponente n.
Per la somma sn dei primi n termini si ha invece, chiamando con a1 il primo termine e con q la ragione:
formula nella quale se − 1 〈 q 〈 1 si può far tendere n all'infinito ottenendo come somma di tutti i termini della progressione geometrica la quantità:
I rapporti fra la progressione geometrica e la progressione aritmetica rimangono lumeggiati dalla seguente proposizione (v. logaritmo): Data una progressione geometrica il cui primo termine sia a1 e la cui ragione sia q, la successione di numeri che si ottiene prendendo i logaritmi dei termini di essa, costituisce una progressione aritmetica, il cui primo termine è dato da log a1 e la cui ragione è log q.
Nel caso particolare della progressione geometrica:
prendendo i logaritmi (in base 10) si ottiene appunto la progressione aritmetica:
Altri tipi di progressioni. - Nell'analisi algebrica si considera spesso, accanto alle progressioni aritmetica e geometrica, la progressione armonica, la quale è definita dalla proprietà che gl'inversi dei suoi termini siano in progressione aritmetica.
Una generalizzazione della progressione aritmetica si ha poi nelle progressioni aritmetiche di ordine superiore. Si dice che una successione di numeri forma una progressione di secondo ordine, se per essa sono costanti le differenze seconde, ossia se si mantengono costanti le differenze delle differenze tra un termine e il suo precedente immediato.
Un semplice esempio di progressione del secondo ordine si ha nella successione dei quadrati dei numeri interi:
per la quale la serie delle differenze prime è data dai successivi numeri dispari:
mentre le differenze seconde hanno il valore costante 2.
Le progressioni aritmetiche d'ordine superiore hanno qualche applicazione nel calcolo delle differenze finite e possono essere, ad es., impiegate per costruire, mediante sole operazioni di somma, le tavole dei quadrati, dei cubi,..., delle n-sime potenze dei numeri interi.