QUADRATURA

QUADRATURA

. Uno dei problemi classici della geometria è quello della "quadratura del cerchio", cioè il problema di costruire un quadrato equivalente (vale a dire, avente area uguale) a un dato cerchio. La risoluzione del problema è impossibile, se si pretende di usare, nelle costruzioni, soltanto la riga e il compasso, ma diventa possibile se si ricorre a dispositivi, per es. meccanici, che consentano di descrivere a tratto continuo (come il compasso dà la circonferenza) opportune curve (trascendenti, cioè non algebriche). La più antica e la più notevole di tali curve fu considerata da Dimostrato (sec. VI a. C.), che la chiamò quadratrice.

Di una qualsiasi superficie piana, come già del cerchio, si dice quadratura la determinazione della sua area, sicché poi si estende lo stesso nome a indicare l'operazione d'integrazione definita, in quanto l'integrale

quando la f (x) si mantenga positiva nell'intervallo (a,b) e si abbia a 〈 b, fornisce l'area del quadrangolo mistilineo (detto anche rettangoloide o trapezoide) compreso tra l'asse delle x, il diagramma della funzione y = f. (x) e le ordinate corrispondenti agli estremi a e b dell'intervallo (v. integrale, calcolo).

Si conoscono varî metodi, particolarmente adatti al calcolo numerico, che permettono di eseguire le quadrature - nel senso or ora indicato - con quell'approssimazione che caso per caso può occorrere. È notevole da questo punto di vista il cosiddetto procedimento di quadratura meccanica, ideato da C. F. Gauss e fondato sulla considerazione dei polinomî di Legendre e sulla possibilità di approssimare quanto si vuole una funzione continua con polinomî. Altre formule di quadratura approssimata sono dovute a B. Cavalieri e T. Simpson, a C. Maclaurin, a Eulero, ecc.

Con ulteriore estensione il vocabolo "quadratura" si usa a designare l'integrazione definita di una funzione in un intervallo a estremo superiore variabile, cioè l'operazione simboleggiata da

la quale dà come risultato una primitiva della f (x), cioè una funzione che ammette la f (x) come derivata (E. Torricelli, I. Barrow).

In quest'ultimo senso il termine "quadratura" ricorre nella teoria delle equazioni differenziali, nella quale si dicono integrabili per quadrature quelle equazioni il cui integrale generale si può calcolare, a partire dai coefficienti, con una o più consecutive integrazioni definite in intervalli, aventi come uno degli estremi la variabile indipendente. Fra tutte le equazioni differenziali, quelle integrabili per quadrature non costituiscono che una classe estremamente particolare. Per esempio, nel caso del 1° ordine, esse si riducono, quanto meno indirettamente, alle cosiddette equazioni a variabili separabili, cioè del tipo

il cui integrale che per x = x₀ assume il valore prefissato ad arbitrio y₀, è definito dall'equazione

In astronomia si dà il nome di quadrature agli aspetti che la Luna presenta al primo e all'ultimo quarto, cioè quando la parte illuminata ha forma di un semicerchio, col diametro verso est o, rispettivamente, verso ovest (v. luna).

Per la quadratura del cerchio, v. cerchio, IX, p. 782.