quadratura
quadratura
quadratura in geometria, procedura consistente nel costruire un quadrato equivalente a una figura piana assegnata. Il problema della quadratura ha particolare interesse, sia storico sia matematico, quando ci si riferisca a una figura a contorno curvilineo e si richieda che essa possa essere ottenuta solo mediante l’uso di riga e compasso, intesi in senso euclideo (→ costruzione con riga e compasso). Con tale limitazione, non tutte le figure piane risultano quadrabili; in particolare non è quadrabile il cerchio: si tratta di disegnare con riga e compasso un quadrato di lato l = r√(π), essendo r il raggio del cerchio dato. Quello della quadratura del cerchio (con riga e compasso) fu un problema classico della geometria greca, la quale prestava attenzione alla costruibilità degli oggetti matematici e agli strumenti con cui essi potevano essere costruiti. La richiesta tradizionale della matematica greca di risolvere tale problema mediante riga e compasso è un primo modello di teoria della calcolabilità, essendo riga e compasso strumenti perfettamente formalizzabili. Per eseguire tale costruzione i greci stessi conoscevano metodi basati su altre curve (per esempio la trisettrice di → Ippia, che Dinostrato dimostrò essere anche quadratrice del cerchio). Nel corso dei secoli il problema si è riproposto, ma solo alla fine del xix secolo si è giunti a una dimostrazione definitiva dell’impossibilità della sua soluzione con riga e compasso. Fu infatti F. Lindemann, nel 1882, a dimostrare che il numero π è un numero trascendente e pertanto non costruibile elementarmente. La quadratura del cerchio è comunque possibile con metodi superiori non inquadrabili classicamente, per esempio ricorrendo a curve trascendenti dette quadratrici (per esempio la cocleoide). Un primo esempio classico di quadratura è dovuto a Ippocrate di Chio (→ lunula).
☐ In analisi, il termine equivale sostanzialmente a integrazione giacché trae origine dal problema della determinazione dell’area di una superficie piana (→ integrale definito). Quadrare una figura significa infatti trovare un quadrato equivalente a essa e tale concetto si estende per analogia a tutti i problemi di integrazione. In particolare, portare alle quadrature un problema significa esprimerne la soluzione mediante formule contenenti integrali. Questo spiega come il calcolo integrale fosse in precedenza definito come metodo delle quadrature. Formule di quadratura sono detti i metodi di → integrazione numerica per il calcolo di integrali definiti di una funzione in una variabile. Esse si basano sul calcolo approssimato dell’integrale mediante una combinazione lineare del tipo: In+1 = a0 ƒ(x0) + ... + an ƒ(xn), dove i punti xi tali che a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b sono detti nodi e i numeri ai sono detti pesi (o coefficienti).