rendita finanziaria

rendita finanziaria

Nella matematica finanziaria classica sequenza di rate esigibili o pagabili a istanti di tempo prefissati. Se questi sono equintervallati, la r. f. si dice periodica e l’intervallo di tempo, costante, fra due rate successive si dice periodo della rendita. Nella pratica, molte r. f. hanno periodo annuo, semestrale, trimestrale o mensile. Di particolare interesse quelle a rata costante o variabile secondo schemi regolari, per es. rata crescente in progressione geometrica.

Definizioni generali

Si definisce r. f. anticipata quella le cui rate sono esigibili all’inizio di ogni periodo e posticipata quella le cui rate si percepiscono alla fine. La r. f. è poi immediata o differita a seconda che la prima sia esigibile nel primo periodo o successivamente. Pensando che l’unità di misura del tempo sia il periodo, le n rate di una r. f. immediata posticipata si percepiscono agli istanti 1, 2,…,n; quelle di una immediata anticipata in 0, 1,…,n−1, quelle di una posticipata differita di m periodi in m+1, m+2,…,m+n, quelle di una anticipata differita di m periodi in m, m+1,…,m+n−1. Le definizioni sono ambigue; per es. la r. f. con rate esigibili in m+1, m+2,……,m+n è interpretabile sia come differita di m e posticipata, che come differita di m+1 e anticipata.

Procedure di calcolo

Dicesi valore attuale di una r. f. il suo equivalente finanziario al tempo 0, cioè la somma di tutte le sue rate riportate all’epoca 0, cioè attualizzate. Il valore attuale A di tutte le r. f. standard, cioè periodiche di rata unitaria, periodo annuo, posticipate e differite di m (intero non negativo), si esprime in modo compatto mediante la v^m a_n,i, dove n è il numero delle rate, i il tasso annuo effettivo di interesse, v=1/(1+i) il fattore di attualizzazione annuo, m il differimento e a_n,i=(1−vⁿ)/i (leggasi a posticipato figurato n, al tasso i) il valore attuale di una rendita standard di rata unitaria con differimento m=0, cioè immediata. Allo stesso modo il valore attuale Ä di tutte le r. f. periodiche di rata unitaria, periodo annuo, anticipate e differite di m si esprime in modo compatto mediante la v^m ä_n,i, dove ä_n,i=(1−vⁿ)/d (leggasi a anticipato figurato n, al tasso i) e d=iv è il tasso annuo di sconto o di interesse anticipato (o attualizzato, moltiplicandolo per il fattore di attualizzazione annuo v). Si ha quindi Ä= v^m(1−vⁿ)/d. Per r. f. immediate (con m=0) si ha v⁰=1, e le formule del valore attuale si riducono alle più compatte A=(1−vⁿ)/i, Ä=(1−vⁿ)/d, rispettivamente per posticipate e anticipate. Fissato n, il valore attuale della rendita unitaria standard (annua, immediata, posticipata) varia con il tasso annuo di interesse, per es. per n=20, i=3% oppure 5%, si ha rispettivamente a_20,3%= 14,88; a_20,5%= 12,46. In generale a_n,i è funzione decrescente del tasso di interesse. Per ottenere i valori attuali di r. periodiche di periodo annuo e rata R costante, ma in generale diversa da 1, basta moltiplicare per R i valori attuali della corrispondente r. unitaria. Una r. f. perpetua è una r. f. le cui rate proseguono indefinitamente; il loro numero non è limitato, cioè n è infinito. Nel calcolo dei valori attuali di tali r. f. la componente vⁿ tende a zero (purchè i>0) e le formule si riducono ad A= v^m 1/i, rispettivamente Ä=v^m 1/d (per m=0, 1/i o 1/d). ●  Si dice montante di una r. f. di periodo annuo e di rata costante all’epoca futura T (misurata in anni), posteriore o al massimo coincidente con la scadenza dell’ultima rata, la somma del valore di tutte le rate riportate all’epoca T, cioè capitalizzate fino a tale epoca. In particolare quando T coincide con la scadenza dell’ultima rata e indicando con u=(1+i) il fattore di capitalizzazione annuo, si ha M= R s_n,i=R (uⁿ−1)/i , dove s_n,i (leggasi s posticipato figurato n al tasso i) è il montante di una rendita standard di rata unitaria posticipata con differimento m=0, cioè immediata, mentre se T segue esattamente di un periodo, l’ultima rata è M̈=R (uⁿ−1)/d (montante di rendita anticipata). Dati importo della rata e numero delle rate, il montante cresce con il tasso di interesse; per R=1, n=40, si ha s_40,2%=60,402 e s_40,4%=95,026.

Dicesi r. frazionata quella in cui la rata annua unitaria è frazionata in k rate di importo pari a 1/k e il periodo diventa anch’esso 1/k di anno. Se la r. f. originaria prevedeva n rate, il frazionamento la trasforma in una di nk rate di importo 1/k e periodo 1/k di anno. Considerando la r. f. immediata e posticipata, con prima rata esigibile al tempo 1/k, e indicando con I_K il tasso effettivo relativo al periodo di 1/k di anno, con v_k il fattore di attualizzazione corrispondente e con j_k il tasso annuo nominale convertibile k volte l’anno j_k=k·i_k, il valore attuale della r. sarà pari a (1/k)(1−v_k^nk)/i_k, cioè (1−v_k^nk)/j_k. Nel caso della frazionata immediata anticipata basterà sostituire a denominatore il tasso di sconto effettivo periodale d_k al tasso di interesse i_k.

Una r. in progressione geometrica ha prima rata uguale a 1 e le altre che crescono in progressione geometrica di ragione r<u (quindi la sequenza delle rate è 1,r,r²,r³,…,rⁿ⁻¹). Si noti che la condizione significa rv<uv, cioè rv<1. Se la r. è annua, immediata e posticipata, il suo valore attuale sarà, ponendo x=rv, v(1+x+…+xⁿ⁻¹)= v(1−xⁿ)/(1−x) e vi sono formule chiuse anche per valori attuali e montanti di questo tipo di rendita.

Una r. in progressione aritmetica ha prima rata di importo unitario e le successive di importo 1+r, 1+2r,1+3r,…,1+(n−1)r. Il suo valore attuale è (v+v²+…+vⁿ)+r(v²+2v³+…+(n−1)vⁿ)=a_n,i+r·(a_n,i−nvⁿ)/i.

Rendite vitalizie

Sono proprie del campo delle assicurazioni del ramo vita. Sono r. (normalmente differite) di rata costante (nella versione standard R=1) e periodo unitario esigibili soltanto a condizione di sopravvivenza dell’assicurato. Esse sono dunque aleatorie, non potendosi prevedere con certezza quante rate saranno percepite. Si distinguono in temporanee, in cui il loro numero massimo percepibile è fissato, e a vita intera, in cui l’assicurato continua a percepire le rate finchè è in vita (tipico esempio la pensione). Il valore attuale della r. vitalizia va inteso come quello medio delle prestazioni da essa garantite. Ai fini del suo calcolo ogni rata futura subisce un doppio intervento riduttivo: l’applicazione di un fattore di attualizzazione v^h e di un fattore probabilistico _hp_x, che indica la probabilità di un individuo di età x di sopravvivere almeno fino all’età x+h. Il valore attuale medio della r. è il premio equo unico di questa assicurazione U=Σ_h v^h _hp_x. La somma si intende estesa ai valori h di un conveniente intervallo. Inversamente, versando un premio unico U, un soggetto di età x può stipulare un’assicurazione di rendita vitalizia immediata posticipata a vita intera, la cui rata annua costante R è pari al rapporto U/(Σ_h v^h _hp_x) con h da 1 a 00. Rendite certe e vitalizie determinano congiuntamente l’entità dei trattamenti pensionistici; per es. un individuo che, a partire dall’età di 30 anni, versa ogni anno e per 40 anni contributi pensionistici di 1000 euro annui, accumula all’età di quiescenza di 70 anni un montante pensionistico (con un tasso di rendimento del 4% annuo) di 95.026 euro. Esso, convertito interamente in una pensione vitalizia vita intera, garantisce una rendita annua di 95.026/11,077=8578,87 euro. Lo stesso schema applicato a un soggetto i cui versamenti contributivi iniziano a 25 anni e terminano a 65 genera una pensione annua vitalizia di 7059,13 euro, ovviamente inferiore alla precedente per la prospettiva di una maggiore aspettativa di vita e dunque di durata del beneficio.

Rendite vitalizie entrano in gioco anche nel calcolo del premio vitalizio (cioè subordinato alla sopravvivenza dell’assicurato) di una qualunque assicurazione del ramo vita (non necessariamente di rendita); in tal caso si ricorre all’equazione U=P Σ_h v^h _hp_x, dove U è il premio unico dell’assicurazione stessa, P è la rata costante del premio vitalizio e la somma è estesa per h da 0 a (n−1) con n il numero massimo di rate vitalizie a carico del contraente. Da questa si ricava l’espressione della rata costante del premio periodico vitalizio P=U/Σ_h v^h _hp_x. In caso di decesso dell’assicurato, prima della scadenza, il contratto assicurativo si scioglie con immediata cessazione del versamento delle rate di premio, se ancora in corso, e con l’eventuale pagamento della somma assicurata da parte della compagnia al beneficiario, nel caso di assicurazione caso morte o mista.