retta e conica, intersezione di
retta e conica, intersezione di
retta e conica, intersezione di insieme formato da tutti e soli i punti comuni a una retta e a una conica. Vanno distinte le situazioni a seconda dell’ambiente spaziale di riferimento.
☐ Nel piano euclideo reale, l’intersezione di una retta e una conica è costituita al più da due punti, tranne il caso in cui la conica sia degenere e la retta sia una delle sue componenti. Ciò in accordo col fatto che, dal punto di vista analitico, l’intersezione tra retta e conica conduce alla soluzione di un sistema di secondo grado in due incognite che, a priori, può ammettere:
• nessuna soluzione reale: in tal caso la retta non ha punti in comune con la conica ed è detta retta esterna alla conica;
• una soluzione oppure due soluzioni distinte: in tal caso la retta ha un punto oppure due punti distinti in comune con la conica ed è detta retta secante la conica;
• due soluzioni coincidenti: in tal caso la retta ha due punti coincidenti in comune con la conica ed è detta retta tangente alla conica.
Le tangenti conducibili a una conica da un punto P possono essere al più due. Se il punto P è interno alla conica, allora non ci sono tangenti. Se il punto P è esterno alla conica si possono condurre da esso due distinte tangenti. Se infine il punto P appartiene alla conica si può condurre da esso una sola tangente, che risulta la polare del punto di tangenza. In un sistema di riferimento cartesiano Oxy l’equazione della tangente a una conica di equazione a11x 2 + a22y 2 + 2a12xy + 2a01x + 2a02y + a00 = 0 in un suo punto P(x0, y0) è data dalla regola di sdoppiamento:
Nel caso particolare di una circonferenza, i punti di intersezione con una retta sono due distinti, due coincidenti, nessuno (e la retta risulta, rispettivamente secante, tangente, esterna alla circonferenza) a seconda che la distanza tra la retta e il centro della circonferenza risulti minore, uguale o maggiore del raggio.
☐ Nel piano affine complesso e ampliato con gli elementi impropri, una conica e una retta hanno sempre due punti di intersezione, tranne il caso in cui la conica sia degenere e la retta sia una delle sue componenti.
La retta si dice secante, tangente o esterna alla conica a seconda che i due punti propri comuni alla retta e alla conica siano, rispettivamente, reali e distinti, reali coincidenti oppure complessi e coniugati. In particolare, in coordinate omogenee, se la conica ha due intersezioni reali e distinte con la retta impropria allora è un’iperbole, se ne ha due reali e coincidenti è una parabola, se ne ha due complesse e coniugate allora è un’ellisse.