polinomiopolinomio somma formale di un numero finito di → monomi, detti termini del polinomio; i coefficienti di un polinomio sono i coefficienti dei termini che lo compongono. Se un polinomio p(x) [...] x1, x2, …, xk a coefficienti in un dato anello A. Dotato di tale struttura, tale anello è indicato con il simbolo A[x1, x2, …, xk]. Come nel caso di una indeterminata, l’anello dei polinomi in k indeterminate eredita molte proprietà da A, quali l ...
Leggi Tutto
corpo
Luca Tomassini
Consideriamo in un anello con unità A l’equazione ax=b, dove a,b sono elementi fissati e x un elemento ‘incognito’ di A. Un primo semplice caso è quello in cui a=0; poiché 0x=0 [...] è un campo (o corpo), in quanto l’inverso di un intero diverso da 1 non è evidentemente intero. Se A è un anello commutativo (e dunque in particolare se A è uguale a ℚ, ℝ o ℂ), l’insieme A[x1,...,xν] dei polinomi a n variabili con coefficienti in A è ...
Leggi Tutto
massimo
màssimo [agg. e s.m. Der. del lat. maximus, superlativo di magnus "grande" e quindi "il più grande" e, sostantivato, "cosa la più grande possibile"] [ALG] M. comune divisore di ideali di un anello: [...] il minore esponente. ◆ [ALG] M. comune divisore dipolinomi: il polinomiodi grado massimo che sia divisore comune di tutti i polinomi dati; si determina scomponendo questi ultimi in prodotti dipolinomi irriducibili e considerando poi i soli fattori ...
Leggi Tutto
numeri algebrici
Luca Tomassini
Numeri complessi (in particolare reali) che siano radici di un polinomio f(x)=anxn+...+a1x+a0 con coefficienti razionali non tutti nulli. Se α è un numero algebrico, [...] es., il numero 1+√√_2 è intero algebrico in quanto radice del polinomio x2−2x−1. Gli interi algebrici costituiscono un anello come i numeri interi, ma a differenza di questi ultimi costituiscono un sottoinsieme non discreto ma denso della retta reale ...
Leggi Tutto
sizigie
Francesco Amaldi
Sia R un anello commutativo noetheriano con unità. Sia M un modulo su R e sia dato un numero finito di generatori come R-modulo. Poiché R è noetheriano, l’R-modulo delle relazioni [...] esempio tipico è dato dal caso in cui M sia un’algebra di invarianti con un numero finito di generatori su un campo k ed R sia l’anello dei polinomi su k in tante indeterminate quanti sono i generatori dati di M. Si ha un omomorfismo suriettivo f:R→M ...
Leggi Tutto
Hilbert, teorema degli zeri di
Hilbert, teorema degli zeri di o Hilbertscher Nullstellensatz, teorema di algebra commutativa, punto di partenza della geometria algebrica, che stabilisce una corrispondenza [...] gli insiemi algebrici dello spazio affine An(K) (dove K è un campo algebricamente chiuso) e una particolare classe di ideali dell’anello dei polinomi K [x1, …, xn] a n indeterminate e a coefficienti in K. La corrispondenza è quella che associa a ogni ...
Leggi Tutto
Zariski, topologia di
Zariski, topologia di in geometria algebrica, topologia definita sullo spazio affine A(Kn) (con K campo e n intero positivo) i cui chiusi sono gli insiemi del tipo V(S) = {x ∈ Kn [...] S}, dove S è un insieme qualsiasi dipolinomi in n variabili a coefficienti in K. Tali insiemi sono detti insiemi algebrici affini. Poiché V(S) = V((S)), dove (S) è l’ → ideale generato da S nell’anello dei polinomi in n variabili a coefficienti in K ...
Leggi Tutto
dominio d'integrita
dominio d’integrità o dominio, anello commutativo unitario e integro, vale a dire privo di divisori dello zero (→ anello). In un dominio d’integrità, come in ogni anello integro, [...] d’integrità sono tutti i campi, l’anello Z dei numeri interi e gli anellidipolinomi Z[x], Q[x], R[x] e C[x]. Più in generale, se D è un dominio d’integrità, allora è tale anche l’anello D[x] dei polinomi a coefficienti in D. Se D è un dominio ...
Leggi Tutto
annullamento del prodotto, legge di
annullamento del prodotto, legge di proprietà dei numeri reali per la quale, se il prodotto di due numeri è nullo, allora uno dei due fattori è necessariamente uguale [...] , nel qual caso esso viene detto anellodi integrità. Tale legge vale in ogni campo, nell’anello degli interi e nell’anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Non vale invece, per esempio, nell’anello delle matrici quadrate a coefficienti in ...
Leggi Tutto
Bezout, identita di
Bézout, identità di detta anche lemma di Bézout, proprietà algebrica che si esprime in questo modo: se m e n sono due numeri interi non nulli e d è il loro massimo comune divisore, [...] ; l’identità, inoltre, può essere generalizzata a una n-pla qualunque di numeri interi non nulli in relazione al loro massimo comune divisore. Un’analoga identità vale anche nell’anello dei polinomi a coefficienti in un campo e più in generale in un ...
Leggi Tutto