In trigonometria, si dice a. di x l’arco la cui tangente trigonometrica è x; simbolo: arctangx (o arctgx). La funzione y=arctangx è quindi funzione inversa della funzione circolare ‘tangente’. ...
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Machin
Machin John (? 1680 - Londra 1751) matematico e astronomo inglese. Il suo nome è legato a una formula algoritmica per il calcolo approssimato di π. Tale formula, che deriva dalla serie di → Gregory-Leibniz [...] ed è esprimibile come π = 4(4arctan(1/5) − arctan(1/239)), ha il vantaggio di essere rapidamente convergente. Machin calcolò lo sviluppo di π fino alla centesima cifra decimale. Nel 1713 divenne professore di astronomia al Gresham College di Londra. ...
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serie ciclometrica
serie ciclometrica serie numerica la cui espressione è
formula
La serie è convergente per |x| ≤ 1 (con x ∈ R). Nel caso complesso è convergente per |x| < 1. Tale serie esprime lo [...] della funzione arcotangente, arctanx, e può essere utile per il calcolo approssimato di π; infatti, ponendo x = 1, essendo arctan(1) = π/4, si ha:
formula
Tuttavia il calcolo di una buona approssimazione di π con questo metodo è particolarmente ...
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coordinate sferiche
coordinate sferiche sistema di coordinate nello spazio tridimensionale costruito in modo analogo al sistema di coordinate polari per il piano. Fissato un punto O detto polo, una semiretta [...] sferiche a quelle cartesiane e viceversa è espresso dalle seguenti formule di trasformazione:
con ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π). Va osservato che φ = arctan(y/x), con la convenzione usata, vale solo nel primo quadrante; nel secondo e terzo vale φ ...
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funzione limitata
funzione limitata funzione F su un sottoinsieme E del suo dominio la cui immagine ƒ(E) è limitata. Questa definizione è del tutto generale (→ insieme limitato), ma si specifica in R, [...] per qualche x, e neppure che M sia il più piccolo valore per cui è verificata la disuguaglianza precedente. Per esempio, la funzione ƒ(x) = arctan(x) è limitata in R, essendo |ƒ(x)| < π/2; la funzione ƒ(x) = esin(x) + 1/(1 + x 2) è pure limitata ...
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Gregory-Leibniz, serie di
Gregory-Leibniz, serie di in analisi, sviluppo di → Maclaurin della funzione arcotangente:
valido nell’intervallo (−1, 1). Tale sviluppo, descritto da J. Gregory nel 1668, [...] una formula che da lui prende il nome. Per giungere alla formula di Machin si calcoli con la serie di Gregory-Leibniz il valore α = arctan(1/5):
Mediante le formule di duplicazione da tan(α) = 1/5 si ottiene tan(2α) = 5/12 e poi tan(4α) = 120/119 e ...
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funzione ipergeometrica
funzione ipergeometrica detta anche funzione ipergeometrica di Gauss e indicata con F(a, b; c; z), è definita nel cerchio |z| < 1 dalla serie ipergeometrica
dove (a)n è il [...] Altri casi particolari sono ln(1 − z) = z ⋅ F(1, 1; 2; z), arcsinz = z ⋅ F(1/2, 1/2; 3/2; z 2), arctan(z) = z ⋅ F(1/2, 1; 3/2; −z 2).
La funzione F soddisfa l’equazione differenziale (ipergeometrica)
La derivata della funzione ipergeometrica F(a, b ...
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Taylor, serie di
Taylor, serie di per una funzione di variabile reale ƒ(x): R → R, dotata di derivate di ogni ordine in un punto x0, è la → serie di potenze
Sotto opportune ipotesi essa converge a [...] sulla circonferenza di convergenza dei punti singolari, e può risultare polidroma. Per esempio, lo sviluppo di ƒ(x) = arctan(x) si estende e definisce arctan(z) come somma della serie
ma tale sviluppo vale solo nel cerchio |z| < 1, pur essendo ...
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successione di funzioni
successione di funzioni successione {ƒn(x)} i cui termini sono funzioni. Per ogni x dell’insieme di definizione comune a tutte le funzioni, una successione di funzioni è una → [...] continua. Se invece la successione converge solo puntualmente, è possibile che ƒ(x) sia discontinua. Per esempio, la successione {(2/π)arctan(nx)} converge in R alla funzione ƒ(x) = sgn(x). Se le funzioni ƒn(x) sono derivabili, si può considerare la ...
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arcotangente
arcotangènte s. m. [comp. di arco e tangente]. – In trigonometria, a. di x, l’arco (angolo) la cui tangente trigonometrica è x; simbolo: arctan x.