definibilita
definibilità termine che designa uno dei principali oggetti di studio della logica matematica, insieme con la dimostrabilità e la calcolabilità; consiste in una riflessione sul concetto [...] una sistemazione assiomatica alla geometria euclidea; unʼimpresa analoga avevano tentato per lʼaritmetica G. Peano (assiomidi → Peano) e R. Dedekind. Il programma hilbertiano prevedeva che ogni teoria fosse intrinsecamente coerente, quindi incapace ...
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numero
numero ente matematico primitivo, la cui nozione ha origine dall’operazione intuitiva del contare, dalla quale risulta la successione dei numeri naturali (uno, due, tre ecc.), nei quali oggi si [...] zero. È possibile dare una caratterizzazione assiomatica dei numeri naturali, per esempio mediante gli assiomidiPeano (→ N, insieme dei numeri naturali; → Peano, assiomidi), a partire dai quali possono essere definite le operazioni e la struttura ...
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sistema formale
sistema formale apparato simbolico mediante il quale è possibile rappresentare formalmente i procedimenti logico-deduttivi delle dimostrazioni matematiche. Esempi di sistemi formali sono [...] il calcolo dei → predicati. I sistemi formali hanno lo scopo di formalizzare le teorie matematiche: si pensi al sistema diassiomidi → Peano per l’aritmetica o al sistema diassiomidi Zermelo-Fraenkel per la teoria degli insiemi (→ Zermelo-Fraenkel ...
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sistema ipotetico deduttivo
sistema ipotetico deduttivo locuzione con cui si indica una determinata modalità di strutturare una teoria scientifica. In un sistema ipotetico deduttivo sono assunti come [...] ipotetici deduttivi sono la geometria euclidea formalizzata secondo gli assiomidi → Hilbert e l’aritmetica formalizzata dagli assiomidi → Peano.
La nozione di sistema ipotetico deduttivo viene definita per la prima volta negli Analitici secondi ...
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decidibilita
decidibilità termine utilizzato nella teoria della calcolabilità per indicare l’esistenza di una procedura algoritmica che permetta di stabilire, in un numero finito di passi, se una data [...] che può essere vero o falso a seconda del valore di verità che gli si attribuisce. Il teorema di Gödel afferma che l’aritmetica formalizzata come calcolo logico (mediante gli assiomidiPeano) è una teoria indecidibile perché esistono in essa formule ...
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addizione operazione dell’aritmetica, denotata con il simbolo + («più»), il cui risultato è detto somma, o totale, mentre i singoli operandi sono detti addendi o termini.
L’addizione può essere definita [...] con s(n)) e ponendo che, per ogni naturale m, la somma di n e il successivo di m è uguale al successivo della somma di n e m. Cioè:
A partire dagli assiomidiPeano, ponendo
dove n e m sono due numeri naturali, l’addizione definisce così ...
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metateoria
metateoria teoria che ha come oggetto di studio un’altra teoria, che ne costituisce la sua teoria oggetto, di cui indaga caratteristiche, formalizzazioni, sintassi e semantica. I risultati [...] essere oggetto d’indagine ecc. La gerarchia delle possibili metateorie è dunque infinita. Per esempio, il sistema diassiomidiPeano, che formula le proprietà e i teoremi dell’aritmetica in un linguaggio logico predicativo (linguaggio dei predicati ...
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categoricita
categoricità proprietà di un insieme diassiomi che vale se due qualsiasi modelli della teoria da essi formalizzata sono isomorfi tra loro, hanno cioè la stessa struttura. In generale, una [...] corrispondenza biunivoca che conserva la loro struttura. Un altro esempio di teoria categorica è l’aritmetica formalizzata tramite gli assiomidiPeano: ogni modello di interpretazione di questa teoria è isomorfo al modello standard. Non è categorica ...
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primo ordine, teoria del
primo ordine, teoria del espressione usata per contraddistinguere una particolare categoria di teorie matematiche formalizzate. Formalizzare una teoria significa esprimere i [...] per esempio l’aritmetica formalizzata dagli assiomidi → Peano) nonché le sue regole di inferenza. Solitamente le teorie matematiche sono formalizzate in un linguaggio dei predicati, facendo quindi uso di: 1) variabili e costanti, che indicano ...
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indecidibilita
indecidibilità in logica, termine utilizzato per indicare la non → decidibilità di una data proprietà. In particolare, un insieme è indecidibile se non esiste un algoritmo in grado di [...] non è dimostrabile nel sistema formale dato. Esempi di teorie indecidibili sono l’aritmetica formalizzata dagli assiomidi → Peano e la teoria degli insiemi formalizzata secondo gli assiomidi → Zermelo-Fraenkel. È importante distinguere il concetto ...
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