La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] massimo nell'intervallo [a,b] dello scarto ∣un(x)−u(x)∣ tende a zero per n tendente all'infinito.
Supponiamo che f(x,y,η) sia continua, convessa rispetto a η, ed esistano un esponente p>1 e due costanti c0>0 e c1>0 tali che
[9] f (x,y,η)≥c0 ...
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spazio di Sobolev
Arrigo Cellina
Per trattare problemi di equazioni differenziali ci si pone in spazi di funzioni che devono ammettere derivate in un qualche senso, anche debole, e devono essere completi [...] , a supporto compattamente contenuto in Ω), si ha
Se questo avviene per tutte le variabili xi si dice che la funzione vettoriale g1, ..., gN è il gradiente (in senso debole) della funzione f e che f sta nello spazio di Sobolev W1,1(Ω).
→ Convessità ...
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coniugata di Fenchel
Arrigo Cellina
Sia f una funzione convessa definita su uno spazio di Hilbert X; si chiama polare di f, o trasformata o coniugata di Fenchel, o di Legendre, la funzione f * definita [...] precedente è affine (nella variabile z), si ha che f *, supremo di una famiglia di funzioni affini, è una funzione convessa. Si noti che l’operazione di prendere l’estremo superiore può dare come risultato +∞, così che f * sarà, generalmente, a ...
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teorema di Mazur
Arrigo Cellina
Proposizione secondo la quale uno spazio normato, un insieme che sia convesso e chiuso è anche chiuso rispetto alla topologia debole. Nella topologia debole si hanno [...] metrica che deriva dalla norma, non è necessariamente chiuso nella topologia debole. Questo fatto però non si verifica se l’insieme è convesso. Sia X uno spazio normato e xn in X. Diciamo che una successione (xn) converge debolmente a x* se per ogni ...
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punti di sella
Angelo Guerraggio
Nell’enunciato del teorema di Kuhn-Tucker, relativo al problema di determinare il massimo di una funzione f con i vincoli gi(x)≤0, compare la funzione lagrangiana L [...] : se x0 è soluzione del problema di ottimo con A insieme convesso, la funzione obiettivo f concava e le funzioni di vincolo convesse ed è soddisfatta una condizione di qualificazione dei vincoli, allora esiste un moltiplicatore λ0 a componenti ...
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spazio lineare
Arrigo Cellina
Definizione matematica che estende le naturali proprietà del comune spazio tridimensionale in cui agiamo. In questo spazio, dato un punto (origine) come riferimento, sono [...] tale che a+0=a; (d) per ogni a esiste a′ tale che a+a′=0; a′ è scritto −a e a+(−b) è scritto a−b. Inoltre deve esistere una mappa da R×X in X tale che per ogni λ,μ∈ℝ e a,b∈X: (a) λ(a+b)=λa+λb; (b) (λ+μ)a=λa+μa; (c) λ(μa)=(λμ)a; (d) 1a=a.
→ Convessità ...
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La grande scienza. Cronologia scientifica: 1991-2000
1991-2000
1991
Il sistema operativo Linux. Uno studente finlandese, Linus Torvalds, sviluppa il sistema operativo Linux. Il sistema può essere distribuito, [...] di disequazioni variazionali di tipo ellittico e parabolico. Le ricerche su problemi che esulavano dal quadro classico legato alla convessità o alla regolarità sono state poi oggetto di numerosi e importanti studi (per es., da parte di Hedy Attouch ...
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teorema di Kuhn-Tucker
Angelo Guerraggio
Nella funzione lagrangiana che compare nell’enunciato del teorema di Fritz John, il moltiplicatore λ0 (associato alla funzione obiettivo f) può valere 0 oppure [...] indipendenti e quella che richiede che le stesse funzioni gi siano pseudo-convesse. La condizione necessaria di Kuhn -Tucker diventa anche sufficiente in ipotesi di convessità: se x0 soddisfa le relazioni viste nel teorema di Fritz John con ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Il Bourbakismo
Jean-Paul Pier
Il Bourbakismo
L'avvento e l'influenza di Bourbaki costituiscono uno dei fenomeni più sorprendenti nella matematica [...] deboli e degli insiemi polari; si dimostra il teorema dei bipolari. Si considerano in seguito i punti estremali degli insiemi convessi compatti e si stabilisce il teorema di Krein-Milman. Si enuncia infine la forma generale del teorema di Hahn-Banach ...
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omotopia
Luca Tomassini
Formalizzazione della nozione intuitiva di deformabilità di un’applicazione in un’altra. Più precisamente, due applicazioni f e g dello spazio topologico X nello spazio topologico [...] si indica con il simbolo [X,Y]. Per es., sia C un sottoinsieme convesso di ℝn e siano f,g:X→C due applicazioni continue qualunque. Per definizione di convessità, la linea retta che collega due punti arbitrari di C è contenuta interamente in ...
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convessita
convessità s. f. [dal lat. convexĭtas -atis]. – L’essere convesso: c. di una superficie; per una curva o superficie, equivale a concavità negativa (v. concavità); con sign. concr., la parte convessa di qualcosa: una mezzaluna con...
convesso
convèsso agg. [dal lat. convexus «ricurvo», der. di convehĕre «raccogliere insieme, condurre», comp. di con- e vehĕre «trasportare»]. – In genere, di corpo che si presenta ricurvo come la parte esterna di un cerchio o di una sfera...