forma bilineare
forma bilineare in algebra lineare, applicazione ƒ che a ogni coppia di vettori v e w, rispettivamente appartenenti agli spazivettoriali reali V e W, associa un numero reale, dotata [...] proprietà di linearità rispetto a v per ogni fissato w e rispetto a w per ogni fissato v:
Se V = W e gli spazi hanno dimensione finita, allora, fissata una base {e1, ..., en} di V e indicati rispettivamente con x e y i vettori delle coordinate di ...
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dimensione
dimensione termine usato in matematica con significati diversi. In geometria elementare, con il termine si indica ciascuna delle misure che descrivono l’estensione di una figura: lunghezza, [...] in un campo. Tale definizione è valida per tutti gli spazi costruiti su una struttura di spaziovettoriale, come per esempio gli spazi euclidei, intesi come spazivettoriali dotati di prodotto scalare. Essa è inoltre coerente con le definizioni ...
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traccia
Luca Tomassini
Nel caso di un operatore lineare (matrice quadrata) di uno spaziovettoriale euclideo n-dimensionale in sé A=∣∣aij∣∣ (con aij numeri complessi e i,j=1,...,n), la traccia di A [...] A=A*), trA è uguale alla somma dei suoi autovalori. La generalizzazione del concetto di traccia al caso di spazivettoriali di dimensione infinita dotati di prodotto scalare (di Hilbert) ℋ si è dimostrata uno strumento fondamentale nello studio delle ...
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spazio duale
Luca Tomassini
Dato uno spaziovettoriale reale (o complesso) X si definisce il suo duale Y come lo spaziovettoriale reale (o complesso) costituito dai funzionali lineari su X, ovvero [...] ∈Y allora x1=x2. Il caso più importante è senza dubbio quello in cui X è uno spaziovettoriale topologico (dotato della topologia localmente convessa τ), Y è lo spazio di tutti i funzionali lineari continui su X (rispetto alla topologia τ) e (x,x′)=x ...
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generatore di un semigruppo
Luca Tomassini
Siano X uno spazio di Banach con norma ∣∣∙∣∣ e B(X) l’insieme degli operatori continui su di esso. Si dice semigruppo di operatori {T(t)∣t≥0} una famiglia [...] [2] è soddisfatta se vale la condizione di Hille-Yosida: ∣∣R(λ,A)∣∣≤M(λ−ω)−1. Il teorema di Hille-Yosida può essere generalizzato da un lato al caso di spazivettoriali topologici e dall’altro a quello di operatori non lineari.
→ Equazioni funzionali ...
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gruppi classici
gruppi classici in algebra, gruppi di matrici definiti come particolari gruppi di trasformazioni lineari di spazivettoriali o proiettivi. Se Mn(R) e Mn(C) indicano le algebre delle matrici [...] la relazione di equivalenza definita da A ~ A′ se A′ = λA, ∃λ ∈ R: coincide con il gruppo delle proiettività dello spazio proiettivo reale P(Rn+1);
• gruppo proiettivo lineare complesso:
dove ~ è la relazione di equivalenza definita da A ~ A′ se A ...
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algebra [struttura]
algebra (struttura) particolare struttura algebrica definita su un campo K; è uno spaziovettoriale A su K dotato di un prodotto interno bilineare ∗: A × A → A (→ applicazione bilineare). [...] algebra associativa, se ∗ è commutativo, allora A è un’algebra commutativa. Se, rispetto alla sua struttura di anello, lo spaziovettoriale A è unitario, se cioè esiste un elemento neutro (indicato con il simbolo 1) per l’operazione ∗, allora A è ...
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derivazione
derivazione operazione che a una funzione associa la sua → derivata. Nel caso di funzioni di più variabili, a ciascuna di esse è associato un operatore di derivazione parziale. Lʼoperatore [...] di derivazione per una funzione ƒ(x), indicato con
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è un operatore lineare tra spazivettoriali. La derivazione di una funzione di cui sia nota lʼespressione analitica è unʼoperazione implementabile con un algoritmo che ...
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prodotto tensoriale
prodotto tensoriale in algebra lineare, la più generale struttura dotata di applicazione bilineare che può riferirsi a vettori, matrici, moduli, spazivettoriali.
Prodotto tensoriale [...] è una base di V ⊗ W, il quale ha per dimensione il prodotto delle dimensioni di V e W.
V ⊗ W è dunque lo spaziovettoriale su K costituito da tutte le combinazioni lineari formali del tipo
dove aij ∈ K.
Se v = x1v1 + … + xnvn e w = y1w1 + … + ymwm ...
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operatore
operatore termine che, in senso lato, è sinonimo di funzione e può riferirsi a numeri, insiemi, funzioni, spazi ecc. Sono operatori tutte le funzioni, l’operatore derivata, l’operatore integrale [...] essere intesa come operatore quando, moltiplicata per un numero, lo trasforma.
Operatore lineare
Applicazione T di uno spaziovettoriale X in uno spaziovettoriale Y, entrambi sullo stesso campo K per la quale risulta
per tutti i punti x1 e x2 di ...
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vettoriale
agg. [der. di vettore]. – 1. In matematica e in fisica, inerente a vettori: grandezza v., in contrapp. a scalare (o grandezza scalare), grandezza caratterizzata, oltre che da un valore numerico, anche da una direzione e da un verso,...
spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...