trasformata di Fourier
Luca Tomassini
Una trasformazione integrale che mappa una funzione a valori complessi f(x):ℝn→ℂ nella sua corrispondente trasformata di Fourier (detta anche funzione spettrale [...] [1] esiste, ma inoltre ∣∣f∼(p)∣∣2=∣∣f(x)∣∣2: la trasformata di Fourier definisce un operatore lineare isometrico (e dunque sempre invertibile) dello spaziodiHilbert L2(ℝn,ℂ) delle funzioni a quadrato sommabile in sé. Dalla definizione è immediato ...
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trasformata di Laplace
Luca Tomassini
Nozione introdotta da Pierre-Simon de Laplace nel suo famoso Théorie analitique des probabilités (1812) e da lui utilizzata per risolvere equazioni differenziali [...] ’ultima, che si è rivelata fondamentale per es. nella teoria dei campi quantistica, dove i campi stessi sono appunto definiti come distribuzioni con valori nello spazio degli operatori (non-limitati) su uno spaziodiHilbert ℋ.
→ Equazioni funzionali ...
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Schrodinger, equazione di
Schrödinger, equazione di nelle applicazioni della matematica alla fisica, equazione fondamentale della meccanica ondulatoria. Descrive la propagazione delle onde materiali, [...] idrogenoide) e in questi casi dà luogo a una infinità numerabile di autovalori Wn e di corrispondenti autosoluzioni, che costituiscono un sistema completo nello spaziodiHilbert L2(R3), nel quale si può descrivere la soluzione generale mediante ...
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traccia
Luca Tomassini
Nel caso di un operatore lineare (matrice quadrata) di uno spazio vettoriale euclideo n-dimensionale in sé A=∣∣aij∣∣ (con aij numeri complessi e i,j=1,...,n), la traccia di A [...] dalla definizione precedente. Se A è un operatore hermitiano su uno spaziodiHilbert ℋ con spettro discreto e autovalori λi (per es., un operatore compatto) si dirà traccia di A la somma della serie
È importante notare che, a differenza ...
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funzione quasi-periodica
funzione quasi-periodica funzione ƒ: R → R per la quale ∀ε > 0 esiste un insieme {τ}ε ⊆ R relativamente denso tale che ∀τ ∈ {τ}ε risulta
Per insieme relativamente denso [...] a ƒ in tutto R.
La nozione di funzione quasi-periodica si estende a funzioni ƒ: R → X, con X spaziodi Banach, sostituendo il modulo con la norma. Se in particolare X è uno spaziodiHilbert, vale l’uguaglianza di Parseval nella forma
(→ Parseval ...
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Banach Stefan
Banach 〈bànak〉 Stefan [STF] (Cracovia 1892 - Leopoli 1945) Prof. (1924) nell'univ. di Leopoli. ◆ [ALG] Algebra di B. (propr., algebra commutativa di B.): è un'algebra nella quale si sia [...] di B.: v. algebre di operatori: I 94 a. ◆ [ALG] Spaziodi B.: spazio vettoriale che gode delle proprietà di essere normato e completo, cioè tale che ogni successione di Cauchy converge a un elemento dello spazio; per es., uno spaziodiHilbert ...
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Dirac
Dirac Paul Audrien Maurice (Bristol 1902 - Tallahassee, Florida, 1984) fisico e matematico inglese, Premio Nobel per la fisica nel 1933. Nel 1926 ottenne il dottorato a Cambridge in matematica [...] si deve l’introduzione della distribuzione, che porta il suo nome (delta di Dirac) e l’introduzione di un particolare formalismo (detto braket) che associa a ogni stato quantistico di una particella microscopica un vettore in uno spaziodiHilbert. ...
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coniugata di Fenchel
Arrigo Cellina
Sia f una funzione convessa definita su uno spaziodiHilbert X; si chiama polare di f, o trasformata o coniugata di Fenchel, o di Legendre, la funzione f * definita [...] per ogni x∈X e z∈X′,
〈z, x〉 ≤ f (x) + f *(z).
Per es., la coniugata della funzione f(x)=(1/p)∥x∥π (dove ∥x∥ indica la norma di x) è la funzione f*(z)=(1/p)∥z∥ϑ con (1/p)+(1/q)=1 e la disuguaglianza precedente diventa
〈z, x〉 ≤ (1/p) ∥x∥π + (1/q) ∥z∥ϑ ...
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Parseval, identita di
Parseval, identità di o uguaglianza di Parseval, stabilisce che se X è uno spaziodiHilbert e {ek} è un sistema ortonormale in X mediante il quale si sviluppi un elemento x ∈ X [...] dice che il sistema {ek} è completo, nel senso che costituisce una base di X (→ Bessel-Parseval, disuguaglianza di). Questa uguaglianza è anche riportata in letteratura come teorema di Parseval e può essere anche enunciata, con riferimento alle serie ...
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Bessel-Parseval, disuguaglianza di
Bessel-Parseval, disuguaglianza di in analisi, relazione che lega la norma di un elemento x di uno spaziodiHilbert X ai suoi coefficienti di Fourier rispetto a un [...] ortonormale assegnato {ek}. Tale disuguaglianza afferma che
dove (x, ek) indica il prodotto scalare di x e di ek. Geometricamente, la disuguaglianza significa che la somma dei quadrati delle proiezioni del vettore x su direzioni mutuamente ...
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hilbertiano
〈i-〉 agg. – Relativo al matematico ted. D. Hilbert (1862-1943). In partic., spazio h., spazio vettoriale completo (in cui cioè qualsiasi successione convergente di punti converga a un punto dello spazio stesso) nel quale sia definito...
spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...