spazio l p
spazio l p spaziovettoriale delle successioni x = {ξk} per cui la serie
è convergente. Se p ≥ 1, lo spazio è normato, con norma
e completo in tale norma; è quindi uno spazio di → Banach. [...] Se p ∈ (0, 1), lo spazio è ancora vettoriale, ma non è normato. Lo spazio l ∞ costituito dalle successioni limitate è di Banach con norma
Se 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, risulta l p ⊂ l q, con immersione continua. Se p e p′ soddisfano l’uguaglianza
essi si ...
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spazio normato
spazio normato spaziovettoriale V, reale o complesso, nel quale è definita una → norma || . ||: V → [0, +∞). Una norma su V induce una → metrica d(u, v) = ||u – v|| e, pertanto, definisce [...] normato completo, cioè tale che in esso ogni successione di Cauchy è convergente, è detto spazio di → Banach. Uno spazio normato in cui la norma soddisfa l’uguaglianza
è detto prehilbertiano, oppure hilbertiano se esso è completo. Ponendo
resta ...
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VETTORE
Roberto Marcolongo
Matematica. - Le grandezze, che si incontrano in geometria, in meccanica, in fisica, si possono distinguere in due classi. Le une - quali, ad es., le lunghezze, le aree, i [...] .
Lo sviluppo ulteriore della teoria comprende la successiva estensione agli spazî curvi a più dimensioni.
Bibl.: C. Burali-Forti e R. Marcolongo, Elementi di calcolo vettoriale con numerose applicazioni alla geometria, alla meccanica e alla fisica ...
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norma
norma applicazione ‖...‖: V → [0, +∞) definita su uno spaziovettoriale reale o complesso e caratterizzata dalle seguenti proprietà:
• ‖v‖ ≥ 0, ∀v ∈ V e ‖v‖ = 0 se e solo se v = 0;
• ‖k ⋅ v‖ = [...] |k| ⋅ ‖v‖, ∀v ∈ V e per ogni scalare k;
• ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖, ∀u, v ∈ V.
Lo spazio V dotato di norma viene detto spaziovettoriale normato. Negli spazivettoriali R e C la funzione valore assoluto (modulo) è una norma. Per l’insieme C si veda il ...
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operatore di proiezione
Luca Tomassini
Sia ℋ uno spaziovettoriale e P un’applicazione lineare (operatore) di ℋ in sé. Se P=P2 allora P è detto operatore di proiezione. Di particolare importanza è il [...] indotta dal prodotto scalare. Si ha inoltre (I−P)2=I−2P+P2=I−P, così che anche I−P è un proiettore (evidentemente ortogonale). Lo spazio lineare XI−P={x∈ℋ tali che (I−P)x=x} coincide con il complemento ortogonale di XP in ℋ: se x∈XI−P e y∈XP allora ...
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polinomi ortogonali
Alfio Quarteroni
Si consideri lo spaziovettoriale ℙn dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a n e sia w:(a,b)→ℝ una funzione peso, ovvero una funzione non negativa e assolutamente [...] continua nell’intervallo aperto (a,b). Il sistema di polinomi {φk(x)}nk=0, con φk∈ℙn, è detto ortogonale rispetto al peso w se
per k≠m. Qualora si considerino a=−1,b=1 e w(x)≡1 si ottiene la famiglia ...
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vettore isotropo
vettore isotropo vettore v di uno spaziovettoriale V definito su un campo K che, rispetto a una forma bilineare simmetrica ƒ definita in tale spazio, è tale che ƒ(v, v) = 0. Poiché [...] reale è una forma bilineare simmetrica, un vettore isotropo è un vettore perpendicolare a sé stesso. In uno spaziovettoriale euclideo, l’unico vettore isotropo è il vettore nullo 0, giacché, essendo perpendicolare a ogni vettore, è perpendicolare ...
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autospazio
autospàzio [Comp. di auto- e spazio] [ALG] Di un operatore lineare A definito su uno spaziovettoriale X, è un sottospazio A⊂X tale che se x∈A, allora Ax∈A; si usa anche dire, se λ è un autovalore [...] di A, che i vettori verificanti Ax=λx appartengono all'a. generato dall'autovalore λ. ◆ [MCC] A. instabile, neutro e stabile: v. sistemi dinamici: V 288 f ...
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spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...
vettoriale
agg. [der. di vettore]. – 1. In matematica e in fisica, inerente a vettori: grandezza v., in contrapp. a scalare (o grandezza scalare), grandezza caratterizzata, oltre che da un valore numerico, anche da una direzione e da un verso,...