separazione
separazione
separazione in topologia, espressione utilizzata per indicare una famiglia di proprietà topologiche che caratterizzano particolari classi di spazi topologici. Le seguenti cinque proprietà sono abitualmente indicate con la lettera T e prendono il nome di assiomi di separazione.
• Assioma T0 (detto anche assioma di Kolmogorov). Presi comunque due punti distinti, esiste almeno un aperto che contiene uno dei due, ma non l’altro;
• Assioma T1 (detto anche assioma di Fréchet). Presi comunque due punti distinti, esistono due aperti che contengono rispettivamente l’uno, ma non l’altro;
• Assioma T2 (detto anche assioma di Hausdorff). Presi comunque due punti distinti, esistono due aperti disgiunti che contengono rispettivamente l’uno, ma non l’altro;
• Assioma T3 (detto anche assioma di Vietoris). Presi comunque un sottoinsieme chiuso e un punto non appartenente a esso, esistono due aperti disgiunti che contengono rispettivamente l’uno, ma non l’altro;
• Assioma T4 (detto anche assioma di Tietze). Presi comunque due sottoinsiemi chiusi disgiunti, esistono due aperti disgiunti che contengono rispettivamente l’uno, ma non l’altro.
Gli assiomi di separazione sono legati da alcune relazioni: (T1) implica (T0); (T2) implica (T1) e (T0); la coppia (T1) e (T3), oppure la coppia (T1) e (T4), implica (T2); la coppia (T1) e (T4) implica anche (T3). Uno spazio X con almeno due punti dotato della topologia banale (in cui gli unici aperti sono l’insieme vuoto e X stesso) è un esempio di spazio topologico che non soddisfa l’assioma (T0). Uno spazio infinito con topologia cofinita (in cui, cioè, gli aperti sono i complementari degli insiemi finiti) soddisfa gli assiomi (T0) e (T1), ma non gli assiomi (T2), (T3) e (T4) perché in tale spazio non esistono aperti disgiunti. Uno spazio topologico soddisfa l’assioma (T1) se e solo se ogni suo punto dà luogo a un chiuso. Uno spazio topologico che soddisfa l’assioma (T2) si dice spazio di Hausdorff. Negli spazi di Hausdorff ogni successione convergente converge a un unico punto (ossia si ha l’unicità del limite). Ciò non è necessariamente vero per gli spazi che soddisfano soltanto l’assioma (T1): per esempio, nello spazio costituito dall’insieme dei numeri naturali dotato della topologia cofinita, la successione ni = i converge a ogni punto dello spazio. Uno spazio topologico che soddisfa gli assiomi (T1) e (T3) si dice spazio topologico regolare. Uno spazio topologico che soddisfa gli assiomi (T1) e (T4) si dice spazio topologico normale. Ogni spazio normale è anche uno spazio regolare e ogni spazio regolare è anche uno spazio di Hausdorff, ma non valgono le implicazioni opposte. Solitamente, uno spazio topologico che soddisfa l’assioma (Ti) viene detto spazio Ti. A volte però si preferisce chiamare spazi T3 e T4 rispettivamente gli spazi regolari e normali: con questa definizione, ogni spazio Ti è anche uno spazio Tj con j < i.