sistemi strutturalmente stabili

sistemi strutturalmente stabili

L’uso di modelli matematici per la descrizione di fenomeni pone inevitabilmente il problema della validità effettiva delle previsioni sul comportamento del sistema considerato ottenute dall’analisi matematica del modello utilizzato. Infatti, se i risultati sono molto sensibili alle più piccole variazioni del modello la loro applicazione richiede prudenza per varie ragioni: la riproduzione del processo reale presume sempre una certa idealizzazione. Più specificamente, qualora il modello dipenda da parametri numerici, occorre tenere conto del fatto che essi sono sempre determinati con una certa approssimazione. Può accadere infatti che la variazione di un parametro entro i limiti dell’errore sperimentale provochi un drastico mutamento delle proprietà del modello, rendendolo inutilizzabile. Uno dei tentativi volto a chiarire in qualche modo sia possibile selezionare le proprietà di un modello che non dipendano da una debole variazione di quest’ultimo nel contesto della teoria dei sistemi dinamici ha condotto alla definizione della nozione di stabilità strutturale, introdotta da Aleksandr A. Andronov e Lev S. Pontriagin. Sia quindi ̇x=v(x), x∈M, un’equazione differenziale definita da un campo vettoriale v su una varietà M. Si dice che il campo v definisce un sistema dinamico, che è detto strutturalmente stabile se resta equivalente a sé stesso per qualunque piccola variazione di v. Più precisamente, due sistemi si dicono (topologicamente e orbitalmente) equivalenti se esiste un omeomorfismo (una trasformazione biunivoca e bicontinua) dello spazio delle fasi del primo sistema sullo spazio delle fasi del secondo che porti le curve di fase orientate del primo sistema (le traiettorie nel tempo del sistema stesso) in quelle del secondo. Per es., se una curva di fase di un sistema strutturalmente stabile è chiusa la sua perturbazione non può essere aperta. I notevoli successi della teoria della stabilità strutturale per sistemi con spazio delle fasi di dimensione bassa (1 o 2) avevano inizialmente suscitato grande ottimismo, ma negli anni Sessanta del secolo scorso Stephen Smale ha dimostrato che nel caso (realistico) di spazi delle fasi di grande dimensione esistono sistemi (modelli) ‘vicino’ ai quali non vi è alcun sistema strutturalmente stabile. Questo risultato mostra che una classificazione topologica completa delle equazioni differenziali è impossibile.

→ Analisi matematica; complessità