Hilbert, spazio di

Hilbert, spazio di

Hilbert, spazio di in algebra lineare, particolare spazio di Banach, in cui la norma è indotta da un prodotto scalare. Dato uno spazio vettoriale X, che per generalità si suppone sul campo C, si chiama prodotto scalare in X un funzionale X × X → C, designato con (x, y), tale che

• (x₁ + x₂, y) = (x₁, y) + (x_2, y)

• (λx, y) = λ(x, y)

• (x, x) ≥ 0 e si ha (x, x) = 0 se e solo se x = 0

La linea soprasegnata indica, in C, il coniugato di un numero complesso. Nel contesto della trattazione degli spazi di Hilbert si usa indicare il prodotto scalare come coppia di elementi (racchiusi in parentesi); inoltre gli elementi dello spazio vettoriale X non vengono indicati in neretto, come altrove i vettori.

Le prime due proprietà esprimono la linearità del prodotto scalare rispetto al primo fattore; rispetto al secondo si ha invece la proprietà di antilinearità, essendo (x, μy) = μ̅ (x, y).

Naturalmente, quando lo spazio X sia reale, e quindi il prodotto sia X × X → R, tale proprietà si riduce alla linearità anche nel secondo fattore, e in tutte le formule si deve togliere il segno di coniugato.

Dalla disuguaglianza di Schwarz

si deduce poi che l’espressione

gode delle proprietà di una norma; pertanto ogni spazio prehilbertiano, cioè dotato di prodotto scalare, è anche uno spazio normato, ponendo come norma

Una proprietà che caratterizza le norme indotte da un prodotto scalare è il teorema del parallelogramma, espresso dall’identità

che nella geometria euclidea lega la lunghezza delle diagonali di un parallelogramma a quelle dei lati. Se con tale norma lo spazio risulta completo, esso si dice spazio di Hilbert.

Tra gli spazi di Hilbert, oltre a Rⁿ e Cⁿ, dotati del prodotto scalare

(detti spazio euclideo n-dimensionale, rispettivamente reale o complesso), sono notevoli la loro naturale generalizzazione allo spazio l ², formato dalle successioni x = {x_k} per cui la serie

è convergente, e agli spazi L²(Ω) delle funzioni a quadrato integrabile in un dominio Ω misurabile di Rⁿ:

con le proprie generalizzazioni (→ Sobolev, spazi di). Il prodotto scalare in l ² è dato da

e quello in L²(Ω) da

Tutti gli spazi di Hilbert separabili, e in particolare gli spazi L², sono isomorfi a l ² tramite gli sviluppi in serie di → Fourier.

Gli spazi di Hilbert sono riflessivi, in quanto a ogni funzionale x′ lineare e continuo su X si può associare un unico vettore y′ tale che il funzionale x′ applicato a x si riduca al prodotto scalare tra x e y′ (→ Riesz, teorema di rappresentazione di); si può scrivere utilizzando il formalismo tipico dei funzionali: <x′, x> = (x, y′ ). Più in generale, sussiste il teorema di → Lax-Milgram, dal nome dei matematici P. Lax e A. Milgram, che si riferisce a una forma sesquilineare B(x, y) su X che sia continua (esiste una costante C tale che per ogni x, y ∈ X si ha B(x, y) ≤ C ⋅ ‖x‖ ⋅ ‖y‖) e coerciva (esiste una costante c tale che per ogni x ∈ X si ha B(x, x) ≥ c ⋅ ‖x‖²).