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spazio duale

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
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spazio duale

Luca Tomassini

Dato uno spazio vettoriale reale (o complesso) X si definisce il suo duale Y come lo spazio vettoriale reale (o complesso) costituito dai funzionali lineari su X, ovvero delle applicazioni f:X→ℝ (o ℂ) tali che f(x+y)=f(x)+f(y) e f(λx)=λf(x) per ogni x,y∈X e λ∈ℝ (o ℂ). Se f(x)=0 per ogni f∈Y implica x=0 lo spazio Y è detto separare i punti di X: in questo caso se (x1−x2,y)=0 per ogni y∈Y allora x1=x2. Il caso più importante è senza dubbio quello in cui X è uno spazio vettoriale topologico (dotato della topologia localmente convessa τ), Y è lo spazio di tutti i funzionali lineari continui su X (rispetto alla topologia τ) e (x,x′)=x′(x) per x∈X e x′∈Y. In questo caso si dice che Y è lo spazio duale topologico di X e lo indicheremo con il simbolo X*. Il fatto che X separi i punti in X* segue dalla definizione stessa di funzionale lineare, il viceversa è invece una conseguenza di uno dei risultati fondamentali della teoria degli spazi vettoriali topologici, il teorema di Hahn-Banach. Quest’ultimo nella sua forma più generale può essere enunciato come segue: su uno spazio vettoriale topologico esiste sempre un funzionale continuo che separi (in un senso opportuno) due sottoinsiemi convessi disgiunti qualunque (e in particolare anche i punti). La topologia sullo spazio X determina una topologia su X*, detta topologia debole, definita come segue: una successione generalizzata (o net) fλ è detta convergente a f se fλ(x)→f(x) per ogni x∈X. È dunque possibile considerare lo spazio duale X** di X*, detto biduale di X. In generale X⊂X**, dove l’inclusione può anche essere stretta. Se X=X** lo spazio X è detto riflessivo e X e X* sono detti in dualità.

→ Equazioni funzionali

Vedi anche
geometria In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia lo spazio e le figure spaziali. 1. Cenni storici 1.1 L’antichità. - L’origine della geometria è legata a concreti problemi di misurazione del terreno (nacque a scopi agrimensori nella zona del delta del Nilo); si trattava quindi essenzialmente ... tensore anatomia Muscolo volontario o involontario che ha la funzione di tendere un organo o una formazione anatomica: tensore del palato, contrae il palato molle; tensore del tarso, nell’orbita, comprime i punti lacrimali delle palpebre e la ghiandola lacrimale; tensore del timpano, nell’orecchio, distende ... topologia matematica Lo studio delle proprietà geometriche delle figure che non dipendono dalla nozione di misura, ma sono legate a problemi di deformazione delle figure stesse. 1. Proprietà topologiche La topologia, che è oggi un capitolo fondamentale della matematica, in origine si limitava allo studio di ... reticolo biologia In biologia cellulare, reticolo endoplasmatico (o endoplasmico), sistema di cavità delimitate da membrane, presente nel citoplasma di tutte le cellule. È costituito da una membrana formata da un unico foglietto continuo, molto ripiegato, che racchiude un unico sacco chiuso detto lume del reticolo ...
Categorie
  • ALGEBRA in Matematica
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • SPAZIO VETTORIALE TOPOLOGICO
  • EQUAZIONI FUNZIONALI
  • SPAZIO VETTORIALE
Altri risultati per spazio duale
  • spazio duale
    Enciclopedia della Matematica (2013)
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Vocabolario
düale
duale düale agg. e s. m. [dal lat. dualis, der. di duo «due»]. – 1. agg. e s. m. Propr., di due, che è condiviso da due; in partic., in linguistica, numero d. (o, come s. m., il d.), una delle categorie del numero grammaticale che alcune...
spàzio
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