spazio topologico

spazio topologico

spazio topologico il più generale tipo di spazio con il quale, attraverso la nozione di intorno, si formalizzano relazioni di “vicinanza” e di “continuità” senza necessità d’introdurre concetti metrici quali per esempio quelli di distanza, di direzione o di angolo, che lo renderebbero una struttura più “rigida” (→ topologia).

Definizione assiomatica

Uno spazio topologico è un insieme X dotato di una famiglia T di sottoinsiemi, detta topologia per X, tale che siano soddisfatti i seguenti assiomi:

• l’insieme vuoto e l’insieme X appartengono a T;

• l’intersezione di un numero finito di elementi di T appartiene a T;

• l’unione di un numero qualunque di elementi di T appartiene a T.

Gli elementi della famiglia T sono detti aperti: un insieme che sia il complementare di un aperto è detto chiuso. Ogni sottoinsieme A di uno spazio topologico X diviene uno spazio topologico definendo aperti le intersezioni di A con gli aperti di X: la topologia così definita è detta topologia relativa. Intorno di un elemento x di X è ogni insieme contenente un aperto contenente x; il punto x è detto punto di aderenza per l’insieme A se ogni intorno di x contiene almeno un punto di A, è detto punto di accumulazione per A se ogni intorno di x contiene almeno un punto di A distinto da x. L’insieme costituito da tutti i punti di aderenza di A è detto chiusura di A. A si dice denso in X se la sua chiusura coincide con X. X è detto separabile se esiste un sottoinsieme numerabile di X denso in X. Una famiglia di aperti è detta base dello spazio topologico se ogni aperto può essere ottenuto come unione di insiemi della famiglia. Per esempio, nell’insieme dei numeri reali, si chiama topologia usuale (o naturale) quella che ha per base la famiglia degli intervalli aperti. Lo spazio X si dice metrizzabile se è possibile introdurre una → metrica in modo che la topologia costruita mediante tale metrica coincida con quella già esistente. Mediante l’aggiunta di ulteriori assiomi si individuano classi particolari di spazi topologici (→ separazione, assiomi di). Uno spazio X è detto separato (o spazio di → Hausdorff) se comunque si assegnino due punti distinti di X esistono due aperti disgiunti ciascuno dei quali contiene l’uno, ma non l’altro punto. Uno spazio separato è detto regolare se per ogni insieme chiuso A e per ogni punto x di X non contenuto in A esistono due aperti disgiunti, l’uno contenente A, l’altro contenente x (vedi anche → spazio normale).