interesse, struttura per scadenza dei tassi di
interesse, struttura per scadenza dei tassi di
interesse, struttura per scadenza
dei tassi di
Un sistema per calcolare i rendimenti
a scadenza dei titoli finanziari
Il rendimento a scadenza di uno ZCB (Zero Coupon Bond) è il tasso istantaneo (o la forza) di interesse che, applicato al prezzo corrente del buono per l’intero periodo, fino a scadenza, produce come montante il valore di rimborso del buono. Formalmente, indicando con B(0,t) il prezzo corrente (al tempo convenzionale 0) del buono di puro sconto che paga un euro alla scadenza t, il rendimento a scadenza è il tasso r che soddisfa l’equazione B(0, t)exp(rt)=1. Risolvendo l’equazione si ottiene r(t)=ln[1/B(0,t)]/t o anche r(t)=−ln[B(0,t)]/t. La struttura per scadenza è la funzione r(t). Il rapporto fra valore finale e valore iniziale 1/B(0,t) è detto return (➔ rendimento p), nel periodo fra 0 e t, del buono e il suo logaritmo naturale (cioè in base e) log-return del buono. Ne consegue la sintetica regola che il rendimento a scadenza di un buono è il rapporto fra log-return e durata del buono stesso o, anche, il rapporto fra l’opposto del logaritmo naturale del prezzo del buono e la sua durata.
La curva dei tassi di interesse
Per quanto detto, la struttura per scadenza è una proprietà caratteristica di un mercato finanziario (➔), in particolare del mercato delle obbligazioni emesse da uno Stato sovrano (considerato non a rischio di default) o di organismi istituzionali a esso equiparabili. La struttura varia, ovviamente, sia nello spazio (con riferimento a mercati diversi), sia nel tempo. Nelle applicazioni più semplici, si ipotizza una curva piatta dei rendimenti (flat yield to maturity). Nel mondo reale, numerose ricerche empiriche hanno, invece, rilevato differenti forme della curva dei rendimenti, anche se una curva moderatamente e asintoticamente crescente è quella prevalente su mercati ‘normali’. La giustificazione intuitiva proviene dalla preferenza per la liquidità (➔), per cui la grande maggioranza degli operatori sceglie di investire, a parità di rendimenti, in titoli a scadenza breve, e chiede un compenso aggiuntivo per legarsi a scadenze più lunghe. Ciò non esclude che in momenti in cui i tassi a breve scadenza sono, per qualsiasi motivo, inusualmente alti, la curva possa essere discendente, coerentemente con l’aspettativa di futuri ribassi dei tassi. Molte delle forme assunte nella realtà dalla curva dei rendimenti per scadenza possono essere spiegate da teorie sofisticate sull’evoluzione futura della forza di interesse, considerata come un processo aleatorio R(t) descritto da una opportuna equazione (➔) differenziale stocastica.
Il modello Vasicek
Precursore di questo approccio, ormai dominante, fu verso la metà degli anni 1970 il modello di Vasicek (➔ arbitraggio), in cui tale equazione è dR=a(c−R)dt+s dW. A primo membro compare il differenziale della forza di interesse (variazione in un intervallo infinitesimo della stessa). A secondo membro essa è scomposta in una componente deterministica di tipo elastico e in una componente aleatoria proporzionale al differenziale di un processo di Wiener (standard). La costante c è interpretabile come tasso di equilibrio di lungo periodo, a (compreso fra 0 e 1) rappresenta la forza del richiamo verso tale livello e s è la volatilità del processo di Wiener. Tenendo conto della condizione iniziale R(0)=r(0), dalla soluzione dell’equazione differenziale risulta che ogni R(t) è distribuita normalmente con media r(0)exp(−at)+c(1−exp(−at)) e varianza (s2/2a)(1−exp(−at)). A questo punto il prezzo teorico del generico buono di puro sconto (➔) con scadenza t è calcolato come E[exp(−ʃ0tR(u)du)], ossia come valore medio, rispetto a tutte le possibili traiettorie del processo della forza di interesse, del valore attuale del rimborso finale. Tale valutazione richiede l’impiego di sofisticati metodi di calcolo stocastico. Il prezzamento per speranza matematica è giustificato dalla preventiva trasformazione del processo evolutivo della forza di interesse nel mondo reale in quello seguito in un mondo neutrale al rischio di tasso. Tale trasformazione richiede l’individuazione di un premio al rischio di tasso istantaneo (rapporto fra eccesso di rendimento e rischiosità istantanee) costante rispetto alla scadenza (cioè per tutti i buoni di qualsiasi scadenza), ma eventualmente variabile rispetto al tempo e al valore corrente della forza di interesse. I prezzi teorici così ottenuti sono, evidentemente, funzione della terna dei parametri (a, c, s) che governano l’evoluzione della forza di interesse nel mondo neutrale al rischio (➔ anche rischio, valutazione del). Per le applicazioni pratiche, tali parametri saranno opportunamente stimati, in modo da riprodurre, il più fedelmente possibile, la struttura dei prezzi rilevati sul mercato per le scadenze disponibili.
Altri modelli di struttura per scadenza
Una variante del modello di Vasicek descritta dall’equazione differenziale dR=a(c−R)dt+s R1/2 dW è stata proposta con grande successo nel 1985 da J.C. Cox, J.E. Ingersoll e S.A. Ross, ed è universalmente nota come modello CIR (➔ CIR, modello di). Modelli di questo tipo sono chiamati modelli di equilibrio della struttura per scadenza. Successivamente sono comparsi (capostipite un lavoro di J.C. Hull e A. White del 1990) modelli di equazioni differenziali, anche detti modelli di arbitraggio, caratterizzati dalla capacità di riprodurre perfettamente la struttura per scadenza iniziale, cioè di eguagliare per ogni scadenza t il prezzo teorico B(0,t) del modello e l’effettivo prezzo di mercato BMKT(0,t). Varianti ancora più raffinate utilizzano equazioni differenziali stocastiche, che descrivono l’evoluzione della forza di interesse a termine al posto di quella a pronti (forward rate vs spot rate). Il più noto di questa classe di modelli è stato proposto da D. Heath, R.A. Jarrow e A. Morton (1992). Va segnalato che tutti questi modelli sono utilizzati per calcolare i prezzi teorici a pronti (➔ spot) e a termine (➔ forward; futures) di buoni con e senza cedola, ma anche per prezzare opzioni sui tassi di interesse (floorlet e caplet) e altri prodotti finanziari IRS (Interest Rate Sensitive) come swap (➔ p) sui tassi di interesse.