dominioeuclideodominioeuclideo particolare anello A che rappresenta il contesto più generale in cui poter effettuare la divisione con resto. È un dominio di integrità (cioè un anello unitario, commutativo, [...] b. L’anello degli interi Z e l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K sono esempi di dominieuclidei: la valutazione coincide con il valore assoluto del numero intero nel primo caso, con il grado del polinomio nel secondo caso. Ogni ...
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dominio a ideali principali
dominio a ideali principali (in sigla pid) dominio d’integrità in cui ogni ideale è principale; ogni dominio con queste caratteristiche è un dominio a fattorizzazione unica. [...] L’anello degli interi Z e l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K sono esempi di pid. Ogni dominioeuclideo è un dominio a ideali principali (→ anello). ...
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dominio a fattorizzazione unica
dominio a fattorizzazione unica (in sigla ufd) dominio d’integrità in cui ogni elemento si fattorizza come prodotto di elementi primi. L’anello degli interi Z e l’anello [...] K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K sono esempi di domini a fattorizzazione unica, così come lo sono ogni dominioeuclideo e ogni dominio a ideali principali (→ anello). ...
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massimo comune divisore
massimo comune divisore (in simbolo mcd) tra due numeri interi a, b è il numero intero M che soddisfa le due seguenti proprietà:
• M divide a e b;
• se c è un intero che divide [...] divisore è sempre calcolabile a partire da due fattorizzazioni note degli elementi dati; se in aggiunta D è un dominioeuclideo, allora l’algoritmo di Euclide, opportunamente riformulato in tale contesto, offre un metodo alternativo per il calcolo. ...
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valutazione
valutazione termine usato in algebra con significati diversi.
□ In un dominio d’integrità A, è un’applicazione v: A{0} → N tale che:
• v(a) ≤ v(ab), per ogni coppia di elementi non nulli [...] ).
Gli elementi q e r sono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione euclidea di a per b e A è detto → dominioeuclideo. Per esempio, sono dominieuclidei l’anello Z dei numeri interi, con la valutazione data dal valore assoluto del ...
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Gauss, interi di
Gauss, interi di numeri complessi della forma m + in, dove m e n sono numeri interi; gli interi di Gauss corrispondono al reticolato formato dai punti a coordinate intere nel piano di [...] C contenente l’anello Z dei numeri interi e l’unità immaginaria i. Gli interi di Gauss sono un importante esempio di dominioeuclideo, con la valutazione data dalla norma di un numero complesso: ciò vuol dire che, per ogni coppia di interi di Gauss a ...
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polinomi, anello dei
polinomi, anello dei locuzione con cui si indica l’insieme A[x] dei polinomi in un’incognita a coefficienti in un dato anello A, dotato delle due operazioni di addizione e di moltiplicazione. [...] A[x] lo è. Una situazione particolarmente importante si ha quando l’anello dei coefficienti è un campo K: in questo caso si può allora effettuare l’algoritmo della divisione con resto, che determina sull’anello K[x] la struttura di dominioeuclideo. ...
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polinomio
polinomio somma formale di un numero finito di → monomi, detti termini del polinomio; i coefficienti di un polinomio sono i coefficienti dei termini che lo compongono. Se un polinomio p(x) [...] caso in cui l’anello A è un campo K: in tale caso l’anello K[x] risulta essere un dominioeuclideo e quindi un dominio a ideali principali e un dominio a fattorizzazione unica. Ciò vuol dire che, comunque presi due polinomi a(x) e b(x) in K[x], sono ...
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Z
Z (insieme dei numeri interi) insieme numerico che estende l’insieme N dei numeri naturali. È l’unione dell’insieme dei numeri interi positivi
dell’insieme dei numeri interi negativi
e dell’insieme [...] per difetto il risultato esatto della divisione di a per b, il quale è un numero razionale non intero. La possibilità di definire l’operazione di divisione con resto determina un’ulteriore struttura algebrica su Z, quella di → dominioeuclideo. ...
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Euclide, algoritmo di
Euclide, algoritmo di (per il MCD) o algoritmo delle divisioni successive, algoritmo che, dati due numeri interi a e b, permette di calcolarne il → massimo comune divisore mcd(a, [...] ottenuto e «deg» indica il grado del polinomio. Più in generale, l’algoritmo di Euclide può essere riformulato in ogni dominioeuclideo D, richiedendo a ogni passo che sia verificata la condizione
dove ν: D − {0} → N è la valutazione definita in ...
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spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...
miṡura s. f. [lat. mensūra, der. di mensus part. pass. di metiri «misurare»]. – 1. a. Il valore numerico attribuito a una grandezza, ottenuto ed espresso come rapporto tra la grandezza data e un’altra della stessa specie assunta come unità (unità...