numeri, teoria dei

numeri, teoria dei

numeri, teoria dei settore della matematica che ha per oggetto i numeri interi e le entità matematiche dotate di proprietà formali analoghe a quelle degli interi. Sono esempi di questioni affrontate dalla teoria dei numeri la ricerca di numeri primi, la scomposizione in fattori, la risoluzione di equazioni diofantee (la ricerca cioè di soluzioni intere o razionali di equazioni algebriche a coefficienti interi). La teoria dei numeri è nata dai problemi di aritmetica connessi con la moltiplicazione e la divisione dei numeri naturali. Già nell’antica Grecia furono studiati particolari sottoinsiemi dei numeri naturali, quali i numeri primi, i numeri quadrati e, più in generale, i numeri figurati, particolari relazioni quali le soluzioni intere dell’equazione x ² + y ² = z ² che danno luogo alle terne pitagoriche, i criteri di divisibilità e algoritmi come quello di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore (→ Euclide, algoritmo di (per il mcd)). Ancora a Euclide si deve il primo teorema di teoria dei numeri, che stabilisce che non esiste un numero primo maggiore di tutti gli altri (e che quindi i numeri primi sono infiniti) mentre, sempre in epoca ellenistica, Eratostene escogitò un metodo per ottenere i numeri primi (→ Eratostene, crivello di) e Diofanto, nel suo libro Arithmetica, studiò problemi sui numeri interi risolvendo equazioni in più incognite. Nel ii secolo d.C., in Cina, in connessione col problema di stabilire dopo quanto tempo due astri, di cui siano noti i periodi di rivoluzione, si trovino nella stessa posizione, fu formulato il cosiddetto teorema cinese del → resto, che risolve il problema di determinare il minimo numero intero conoscendo i due resti nella divisione per due numeri dati. Altri risultati notevoli, tra cui l’introduzione della notazione decimale e l’uso consapevole dello zero, si raggiunsero in India, nel vii secolo, soprattutto con le opere di Brahmagupta e Bhaskara. In Europa, i principali lavori in teoria dei numeri si svilupparono a partire dal Seicento con P. de Fermat (→ Fermat, numero di; → Fermat, piccolo teorema di; → Fermat, ultimo teorema di) e, successivamente, con Eulero, la cui funzione toziente fornisce il numero degli interi positivi minori o uguali a n che non hanno fattori primi comuni con n (→ Eulero, funzione toziente di; → Eulero, prodotto di); prese allora avvio l’indagine, tuttora attuale, sulla distribuzione dei numeri primi. Uno dei problemi tuttora [2013] irrisolti di teoria dei numeri nasce proprio da una lettera indirizzata a Eulero dal suo amico C. Goldbach (→ Goldbach, congettura di). Eulero, inoltre, fu il primo a utilizzare i mezzi dell’analisi matematica per questioni riguardanti i numeri interi, dando così inizio alla teoria analitica dei numeri. A partire dalla fine del Settecento, senza abbandonare l’argomento originario della propria investigazione, la teoria dei numeri tende a trasformarsi progressivamente seguendo due direttrici principali: includendo cioè da un lato lo studio di insiemi numerici più ampi (numeri razionali, numeri algebrici ecc.), e dall’altro quello di entità matematiche di natura differente (classi di resti, forme quadratiche, ideali in corpi algebrici ecc.) dotate di proprietà di tipo formale analoghe a quelle connesse con le operazioni sui numeri interi. Una tale trasformazione si accentuerà maggiormente nel xx secolo, influenzando lo sviluppo dell’algebra e della geometria algebrica.

Con l’inizio del xix secolo, e specialmente con la pubblicazione delle Disquisitiones arithmeticae di C.F. Gauss (1801), gli orizzonti si ampliarono e si definirono. Con l’invenzione da parte di C.F. Gauss della → congruenza modulo n tra numeri interi (→ aritmetica modulare), i problemi fino allora frammentari relativi ai numeri interi trovarono una cornice sistematica e diventarono un vero e proprio settore autonomo di studi: si inaugurò inoltre un approccio decisamente algebrico, dando così inizio alla teoria algebrica dei numeri. Si introdusse, per esempio, il concetto di → intero algebrico, che generalizza il concetto di intero ordinario, e quello di campo ciclotomico (→ p-campo ciclotomico) che E.E. Kummer considerò a partire dalle sue indagini sull’ultimo teorema di Fermat e che si rivelò foriero di notevoli sviluppi nella teoria algebrica dei numeri. Sempre in quel periodo si estese la ricerca all’utilizzo di altri insiemi numerici per ottenere dei risultati concernenti gli interi: gli interi di Gauss, definiti a partire dall’insieme dei numeri complessi costituiscono una struttura algebrica molto simile a quella degli interi ed è possibile sviluppare per essi una teoria della fattorizzazione in primi di Gauss (→ Gauss, interi di).

Dalla fine dell’Ottocento e ancor più nel Novecento, la teoria dei numeri è andata configurandosi come un insieme di settori sempre più sistematici e specialistici, talvolta mal comunicanti tra loro: un particolare settore riguarda l’insieme di risultati ottenuti attorno al concetto di → funzione automorfa, introdotto da C.F. Gauss e da C.G. Jacobi. La teoria dei numeri è così progressivamente diventata una delle branche più importanti della matematica contemporanea, riguardando problemi che coinvolgono molti altri settori. Una delle sue peculiari attrattive, anche per i non specialisti, consiste nella comprensibilità della maggior parte dei problemi che vi si pongono, cui tuttavia corrisponde spesso una grande difficoltà nel risolverli. Per esempio, il problema della infinità dei numeri primi gemelli, cioè tali che la loro differenza sia 2, come per esempio 3 e 5 oppure 5 e 7, fu posto già da Euclide, ma è tuttora [2013] irrisolto. Altre questioni aperte riguardano la distribuzione dei numeri primi nella successione dei numeri naturali, che ha notevoli conseguenze in crittografia e coinvolge proprietà delle funzioni di variabile complessa (→ Riemann, ipotesi di), le approssimazioni diofantee, l’algebricità o trascendenza di numeri irrazionali, i numeri algebrici.