topologia prodotto
topologia prodotto
topologia prodotto topologia di cui viene dotato il → prodotto cartesiano X1 × X2 di due spazi topologici X1 e X2 per ottenere il loro prodotto topologico (o spazio topologico prodotto). La topologia prodotto è la meno fine fra tutte le topologia rispetto alle quali le due proiezioni p1: X1 × X2 → X1 e p2: X1 × X2 → X2 sono continue. Per esempio, se R è dotato della topologia euclidea, la topologia prodotto su R × R = R2 coincide con la topologia euclidea bidimensionale.
La base canonica della topologia prodotto su X1 × X2 (→ topologia, base di una) è composta dai sottoinsiemi della forma A1 × A2, con A1 e A2 rispettivamente aperti di X1 e X2. Se β1 e β2 sono basi di X1 e X2, la sottofamiglia della base canonica della topologia prodotto data dai sottoinsiemi della forma A1 × A2, con A1 e A2 rispettivamente aperti in β1 e β2, forma anch’essa una base della topologia prodotto, a volte più utile di quella canonica perché generalmente molto più piccola. Dotando X1 × X2 della topologia prodotto, le due proiezioni p1: X1 × X2 → X1 e p2: X1 × X2 → X2 sono, oltre che continue, anche applicazioni aperte.
La costruzione della topologia prodotto si estende al prodotto cartesiano di un numero qualsiasi di spazi topologici. Anche nel caso generale, la topologia prodotto è definita come la meno fine fra le topologie rispetto alle quali tutte le proiezioni sono continue.