• Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X

trasformata di Laplace

di Luca Tomassini - Enciclopedia della Scienza e della Tecnica (2008)
  • Condividi

trasformata di Laplace

Luca Tomassini

Nozione introdotta da Pierre-Simon de Laplace nel suo famoso Théorie analitique des probabilités (1812) e da lui utilizzata per risolvere equazioni differenziali e alle differenze finite. Nel secolo scorso è stata utilizzata per giustificare il calcolo operazionale ma più in generale essa è divenuta uno strumento insostituibile nella matematica applicata. Sia f(t):ℝ+→ℂ una funzione a variazione limitata sull’intervallo [0,r] per ogni r positivo. Se

formula

formula

converge per qualche numero complesso s0, allora converge anche per ogni s tale che Res>Res0. L(s) è detta trasformata di Laplace-Stieltjies di f(t). Se invece

[2] formula

formula

è integrabile secondo Lebesgue nell’intervallo [0,r] per ogni r>0, allora

[3] formula

formula

è detta trasformata di Laplace di φ(t). Data la trasformata di Laplace L(s) di f(t), esiste un numero reale σc tale che la massima regione di convergenza del limite in [1] è l’insieme di tutti gli s tali che Res>σc. Se l’integrale non converge mai si scrive allora σc=+∞, se converge ovunque σc=−∞. Il numero σc è detto ascissa di convergenza di L(s) e la linea Res=σc asse di convergenza. Nella regione di convergenza Res>σc, L(s) è una funzione olomorfa e si ha (analogamente al caso della trasformata di Fourier)

[4] formula,

formula

dove L(k)(s) è la derivata k-esima di L(s). Anche la trasformata di Laplace può essere definita per funzioni φ(t): ℝn+→ℂ. Se la funzione f(t) è sufficientemente regolare, essa è unicamente determinata dalla sua trasformata di Laplace L(s) e la formula di inversione è esplicitamente

[5] formula

formula

per t>0. Altre importanti applicazioni della trasformata di Laplace sono nell’ambito della teoria dei semigruppi di operatori e delle distribuzioni. Nel primo caso una generalizzazione della

formula [6]

formula

e della sua inversa fornisce una relazione tra un semigruppo e il suo generatore (teorema di Hille-Yosida), nel secondo permette di caratterizzare le proprietà di regolarità di certe distribuzioni su ℝn a partire da proprietà (quali il supporto) della loro trasformata. Una tecnica, quest’ultima, che si è rivelata fondamentale per es. nella teoria dei campi quantistica, dove i campi stessi sono appunto definiti come distribuzioni con valori nello spazio degli operatori (non-limitati) su uno spazio di Hilbert ℋ.

→ Equazioni funzionali

Vedi anche
applicazione Matematica Il concetto di a. è una generalizzazione del concetto classico di funzione (➔ corrispondenza). Si parla di a. di un insieme P in un insieme Q, quando tra i due si stabilisce una corrispondenza del tipo seguente: a ogni elemento di P corrisponde un ben determinato elemento di Q, mentre un elemento ... numero reale Ogni numero relativo razionale o irrazionale. I numeri r. sono dati, perciò, da tutti i possibili sviluppi decimali sia limitati sia illimitati, e questi ultimi sia periodici sia sprovvisti di periodo. Due differenti ordini di problemi suggerirono ai matematici l’opportunità di introdurre i numeri reali. ... Oliver Heaviside Fisico e matematico inglese (Londra 1850 - Torquay, Devonshire, 1925). Membro della Royal Society dal 1891, sviluppò la teoria del campo elettromagnetico già enucleata da J. C. Maxwell ed elaborò il metodo degli operatori funzionali, con cui calcolò gli effetti di distorsione dovuti alla capacità elettrostatica ... segnale Genericamente, indicazione di tipo ottico o acustico, per lo più stabilita d’intesa o convenzionale, con cui si dà una comunicazione, un avvertimento, un ordine a una o più persone. Concretamente, qualsiasi oggetto, strumento o dispositivo usato per fare segnalazioni; in particolare, l’informazione contenuta ...
Categorie
  • ANALISI MATEMATICA in Matematica
Tag
  • FUNZIONE A VARIAZIONE LIMITATA
  • INTEGRABILE SECONDO LEBESGUE
  • PIERRE-SIMON DE LAPLACE
  • EQUAZIONI DIFFERENZIALI
  • ASCISSA DI CONVERGENZA
Altri risultati per trasformata di Laplace
  • Laplace, trasformata di
    Enciclopedia della Matematica (2013)
    Laplace, trasformata di → Laplace, trasformazione di.
  • Laplace, trasformata di
    Dizionario di Economia e Finanza (2012)
    Strumento matematico che prende il nome dal matematico francese P.-S. Laplace, a cui se ne deve l’introduzione in un lavoro di calcolo delle probabilità. La trasformata di L. di una generica funzione f è definita dalla funzione integrale G(z)=ʃ∞−∞ e−zt f(t)dt, la quale esiste solo se l’integrale è definito. ...
Vocabolario
trasformata
trasformata s. f. [dal part. pass. trasformato (v. la voce prec.), per ellissi di funzione]. – In analisi matematica, trasformata di una funzione f(x) è la funzione che, sotto certe condizioni, viene costruita a partire dalla funzione f(x),...
laplaciano
laplaciano agg. – Che si riferisce all’astronomo e matematico fr. P.-S. de Laplace ‹laplàs› (1749-1827). Ipotesi cosmogonica l. (o di Laplace), ipotesi per la quale si suppone che il Sole fosse originariamente un immenso globo gassoso,...
  • Istituto
    • Chi Siamo
    • La nostra storia
  • Magazine
    • Agenda
    • Atlante
    • Il Faro
    • Il Chiasmo
    • Diritto
    • Il Tascabile
    • Le Parole Valgono
    • Lingua italiana
    • WebTv
  • Catalogo
    • Le Opere
    • Bottega Treccani
    • Gli Ebook
    • Le Nostre Sedi
  • Scuola e Formazione
    • Portale Treccani Scuola
    • Formazione Digitale
    • Formazione Master
    • Scuola del Tascabile
  • Libri
    • Vai al portale
  • Arte
    • Vai al portale
  • Treccani Cultura
    • Chi Siamo
    • Come Aderire
    • Progetti
    • Iniziative Cultura
    • Eventi Sala Igea
  • ACQUISTA SU EMPORIUM
    • Arte
    • Cartoleria
    • Design & Alto Artigianato
    • Editoria
    • Idee
    • Marchi e Selezioni
  • Accedi
    • Modifica Profilo
    • Treccani X
  • Ricerca
    • Enciclopedia
    • Vocabolario
    • Sinonimi
    • Biografico
    • Indice Alfabetico

Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.A. © Tutti i diritti riservati

Partita Iva 00892411000

  • facebook
  • twitter
  • youtube
  • instagram
  • Contatti
  • Redazione
  • Termini e Condizioni generali
  • Condizioni di utilizzo dei Servizi
  • Informazioni sui Cookie
  • Trattamento dei dati personali