VARIETÀ

VARIETÀ (App. II, 11, p. 1089; III, 11, p. 1069)

La teoria delle v. ha compiuto rilevanti progressi nei suoi aspetti topologici e di geometria differenziale reale e complessa. Per le v. algebriche si rinvia alla v. geometria: Geometria algebrica, in questa Appendice.

1. Classificazione delle varietà differenziabili. - Lo studio delle v. topologiche di dimensione 2, cioè delle superfici orientabili e non orientabili, la determinazione dei loro gruppi fondamentali e dei loro rivestimenti risale ai tempi di B. Riemann (1826-66), ma ha fatto grandi progressi nei primi decenni del secolo. La classificazione topologica delle superfici compatte, dovuta a M. Dehn e P. Heegard, e indipendentemente a T. R. Brahana, consiste in una successione finita di passaggi che possono essere "realizzati" operando su pezzi di carta con forbici e colla. Essa è riassunta da un teorema che è uno dei più suggestivi risultati della topologia algebrica classica. Questi passaggi elementari sono stati analizzati, raffinati e trasportati a dimensioni superiori, dando luogo alla cosiddetta "chirurgia" sulle varietà. Tuttavia non si conosce ancora una classificazione completa delle v. compatte di dimensione 3, e A. A. Markov ha dimostrato, nel 1958, che non possono esistere algoritmi di classificazione per le v. compatte orientabili, triangolabili, di dimensione ≥ 4.

La mancanza di una classificazione delle v. compatte di dimensione 3 (per le quali rinviamo al volume di J. P. Hempel citato alla fine di questo articolo) è legata alla "congettura di Poincaré". Segue dalla classificazione delle superfici compatte, che ognuna di queste, se semplicemente connessa, è omeomorfa alla superficie sferica S². All'inizio del secolo, H. Poincaré congetturò che un simile risultato vale per v. compatte semplicemente connesse di dimensione 3, cioè che una v. siffatta è omeomorfa alla sfera S³. Questo è ancora un problema aperto. Salendo a dimensioni superiori, si hanno esempi di v. compatte semplicemente connesse di dimensione 4 che non sono omeomorfe alla sfera S⁴. Per n > 4, S. Smale ha provato nel 1960 una "congettura di Poincaré generalizzata" mostrando che, se una v. differenziabile compatta X, di dimensione n, ha il tipo di omotopia della sfera Sⁿ (cioè se esistono due applicazioni differenziabili ϕ: X → Sⁿ e ψ: Sⁿ → X tali che ϕ 0 ψ e ψ 0 ϕ siano omotope alle identità su Sⁿ e X), allora X e Sⁿ sono differenziabilmente omeomorfe.

Il problema della classificazione delle v. differenziabili è legata alla "teoria del cobordismo", introdotta da R. Thom nel 1954. Anzitutto una v. a bordo M di dimensione n è uno spazio di Hausdorff, ogni punto del quale ha un intorno omeomorfo al disco unità B = {(x₁, ..., x_n):

〈 1} di ???&out;Rⁿ, oppure all'insieme {(x₁, ..., x_n) ∈ B : x_n ≥ 0}. I punti che hanno intorni di quest'ultimo tipo costituiscono la frontiera di M. Secondo un teorema di S. Smale, se due v. differenziabili compatte, orientabili, semplicemente connesse, M₁ e M₂, di dimensione n sono "h-cobordanti", cioè se esse costituiscono la frontiera di una v. differenziabile di dimensione n + 1, della quale M₁ e M₂ sono entrambi retratti per deformazione, M₁ e M₂ sono differenziabilmente omeomorfe. Questo risultato fondamentale, completato da ulteriori contributi di P. S. Novikov e W. Browder, riconduce il problema della classificazione delle v. differenziabili a un problema algebrico.

2. Varietà complesse. - Fra il 1950 e il 1960 H. Cartan e J. P. Serre mostrarono come la teoria dei fasci (faisceaux, sheaves) di gruppi abeliani, introdotta da J. Léray nel 1945, ponesse in un'ottica nuova alcuni dei problemi centrali della teoria delle funzioni olomorfe di più variabili complesse e portasse inoltre in modo naturale a una generalizzazione della nozione di v. complessa (v. varietà, App. III, 11, p. 1069), e cioè al concetto di "spazio analitico".

"Fascio " di gruppi abeliani su uno spazio topologico X è l'unione ???&out;f =

???&out;f_x di una famiglia di gruppi abeliani ???&out;f_x. In ???&out;f è data una topologia tale che: 1) l'applicazione p: ???&out;f → X che manda in x ogni ξ_x, è un omeomorfismo locale; 2) la funzione ξ_x → − ξ_x è continua su ???&out;f; 3) l'applicazione che a due punti ξ_x, η_x ∈ ???&out;f_x associa ξ_x + η_x è continua sul sottospazio {(ξ, η) ∈ ???&out;f × ???&out;f : p(ξ) = p(η)} per la topologia relativa. Se gli  ???&out;f_x sono anelli o moduli (su ???&out;R o su ???&out;C) e se la topologia su ???&out;f soddisfa a condizioni di continuità simili alla 3) per le varie operazioni algebriche definite sugli ???&out;f_x, ???&out;f è un fascio di anelli o di moduli. "Sottofascio" ???&out;g di ???&out;f è un sottoinsieme aperto di ???&out;f tale che p(???&out;g) = X e che, per ogni x ∈ X, p^-1(x) ⋂ ???&out;g sia un sottogruppo (o sottoanello, o sottomodulo) di  ???&out;f_x. È chiaro che ???&out;g è un fascio su X per la topologia relativa.

Un esempio tipico di fascio è quello dei germi delle funzioni continue su X. "Germe" di una funzione continua in un punto è la classe di equivalenza delle funzioni continue che coincidono in intorni del punto. In modo simile si possono definire su una v. differenziabile di classe C^∞, o su una v. complessa, il fascio dei germi di funzioni C^∞ od olomorfe, il fascio dei germi di campi di vettori, C^∞ od olomorfi, di forme differenziali, C^∞ od olomorfe, di campi di tensori, ecc.

Dato su X un fascio ???&out;f di moduli, e un aperto A di X, le funzioni continue s : A → ???&out;f tali che p(s(x)) = x per ogni x ∈ A si chiamano "sezioni" di ???&out;f su A. L'insieme di tali sezioni, Γ(A, ???&out;f), è un modulo. Se U = {A_i}_iεI è un ricoprimento aperto localmente finito di X, due sezioni s_i ∈ Γ(A_i, ???&out;f) e s_j ∈ Γ(A_j, ???&out;f) sono restrizioni ad A_i e A_j di una sezione in Γ(A_i ⋃ A_j, ???&out;f) se, e solo se, s_i = s_j su A_i ⋂ A_j. Siamo così condotti ad associare alla 0-cocatena{s_i}_iεI a valori in ???&out;f la 1-cocatena {s_j − s_i}_i,jεI

Data una 1-cocatena {s_ij}_i,jεI, ove s_ij ∈ Γ(A_i ⋂ A_j, ???&out;f) e s_ji = − s_ij, diremo che essa è un 1-cociclo se

e per tutti gl'indici i, j, h in I. Gli 1-cocicli costituiscono un modulo, del quale le 1-cocatene {s_j − s_i} considerate dianzi sono un sottomodulo. Il modulo quoziente si chiama il "primo gruppo di coomologia", H¹(U, ???&out;f), del ricoprimento aperto U, a valori in ???&out;f.

In modo simile si definiscono i gruppi di coomologia H^q(U, ???&out;f), con q = 2, 3, ... Considerando "raffinamenti" del ricoprimento U mediante aperti sempre più "piccoli", è possibile istituire un procedimento di passaggio al limite - il "limite induttivo" - definendo così i gruppi di coomologia H^q(X, ???&out;f) di X a valori in ???&out;f, per q = 1, 2, .... Porremo H⁰(X, ???&out;f) =Γ(X, ???&out;f). Per la teoria dei fasci rinviamo il lettore al volume di R. Godement citato nella bibliografia.

3. L'operatore di Laplace-Beltrami. - Se ???&out;f è il fascio costante ???&out;R, o ???&out;C (ossia il fascio dei germi di funzioni costanti reali o complesse), i gruppi H^q(X, ???&out;f) sono i gruppi di coomologia di Čech di X. Qualora X sia una v. differenziabile C^∞, H^q(X, ???&out;R) è canonicamente isomorfo al q-esimo gruppo di De Rham di X (v. varietà, in App. III, loc. cit.). Se inoltre X è compatta, i gruppi di De Rham possono calcolarsi introducendo una metrica riemanniana su X, mediante la teoria degl'integrali armonici su X, cioè mediante lo studio di un operatore ellittico del secondo ordine definito dalla metrica riemanniana: il cosiddetto operatore di Laplace-Beltrami.

Se X è una v. complessa, i gruppi H^q(X, ???&out;o), a valori nel fascio ???&out;o dei germi di funzioni olomorfe su X, possono essere posti in un isomorfismo canonico - come ha mostrato P. Dolbeault nel 1953 - con certi spazi di q-forme differenziali che sono annullate da un operatore differenziale esterno ∂???. Questo è definito localmente, a partire dalle derivate ∂/∂ÿ, in un modo identico a quello con cui l'operatore di differenziazione esterna d è costruito mediante le derivate locali ∂/∂x. Se X è compatta, questi spazi hanno dimensione finita e possono essere descritti introducendo su X una metrica hermitiana, e definendo mediante questa un operatore differenziale ellittico su X: l'operatore di Laplace-Beltrami complesso.

Nel caso non compatto, opportune generalizzazioni dell'operatore di Laplace-Beltrami, studiate indipendentemente da A. Andreotti-E. Vesentini e da L. Hörmander, permettono di esaminare una parte di H^q(X, ???&out;o), rappresentata da forme differenziali a quadrato sommabile. Questi metodi sono particolarmente efficaci per certe v. complesse (v. pseudo-convesse) per le quali l'intero spazio H^q(X, ???&out;o) è rappresentabile in tale modo, e sono stati applicati a vari problemi classici (problema di Levi, v. di Stein, ecc.) nonché a svariate questioni della "teoria delle deformazioni delle v. complesse". Questa teoria si occupa dell'esistenza, su una stessa v. differenziabile, di famiglie di strutture complesse dipendenti, in modo sufficientemente regolare, da uno o più parametri.

Uno dei problemi centrali di essa consiste nel determinare dei parametri essenziali della famiglia, cioè nel rintracciare in essa strutture complesse, corrispondenti a valori diversi dei parametri, trasformate le une nelle altre da omeomorfismi olomorfi. Nella dimensione complessa 1, questa teoria appare già nelle opere di Riemann, con i moduli delle curve algebriche, e ha compiuto notevoli progressi, grazie all'opera di O. Teichmüller, L. V. Ahlfors, L. Bers e altri, intrecciandosi profondamente con lo studio delle forme automorfe. Nelle dimensioni superiori essa è stata oggetto d'importanti ricerche di K. Kodaira, D. C. Spencer e altri, ma allo stato attuale è in grado di trattare soltanto le deformazioni infinitesime.

In virtù del teorema di uniformizzazione, le superfici compatte di Riemann di genere > 1 hanno come rivestimento universale il disco unità del piano complesso. Pertanto le loro deformazioni possono leggersi come "deformazioni" di certi gruppi propriamente discontinui di automorfismi del disco, cioè di trasformazioni di Möbius. Lo studio delle deformazioni di gruppi propriamente discontinui di automorfismi di certi domini limitati omogenei di dimensione > 1 ha interesse rilevante in molte questioni della teoria dei gruppi e della geometria algebrica. Per essa rinviamo al libro di G. D. Mostow citato nella bibliografia.

Se la v. differenziabile compatta X è dotata di una metrica riemanniana, gli integrali armonici" su X corrispondono all'autovalore 0 dell'operatore di Laplace-Beltrami. Lo studio dell'intero spettro di questo operatore, e delle sue relazioni con la geometria riemanniana su X, iniziato da S. Minakshisundaram e A. Pleijel nel 1949, ha progredito notevolmente. Esso si collega allo studio globale degli operatori differenziali sulle v. che, intrapreso da M. Atiyah, I. M. Singer, R. Bott, F. Hirzebruch e altri, ha condotto al "teorema dell'indice" e a generalizzazioni del teorema di Riemann-Roch.

Varietà complesse e spazi complessi. - Il prolungamento analitico di funzioni olomorfe definite su aperti dello spazio vettoriale complesso ???&out;Cⁿ di dimensione n ≥ 1 conduce in modo naturale al concetto di "spazio analitico", caso particolare della nozione di "spazio anellato", introdotta da H. Cartan e J. P. Serre.

Uno spazio di questo tipo è uno spazio di Hausdorff X sul quale è assegnato un "fascio di struttura" ???&out;f, cioè un fascio di anelli che sia un sottofascio del fascio dei germi di funzioni continue. Gli spazi anellati sono elementi di una categoria, i cui morfismi "conservano" i fasci di struttura. Dati due spazi anellati X e X′ con fasci di struttura e ???&out;f e ???&out;f′, un morfismo è un'applicazione continua Φ : X → X′ tale che, per ogni x ∈ X e per ogni germe α′ ∈ ???&out;f_Φ(x), il germe α′ 0 Φ appartiene a ???&out;f_x. Le v. complesse e le v. differenziabili sono esempi di spazi anellati: fasci di struttura sono rispettivamente ???&out;o e il fascio dei germi di funzioni C^∞. Un sottoinsieme M di uno spazio anellato (X, ???&out;f), che sia localmente l'insieme degli zeri di un numero finito di sezioni locali di ???&out;f si chiama un "sottoinsieme distinto" di (X, ???&out;f). Esso eredita da (X, ???&out;f) una struttura di spazio anellato in guisa tale che l'immersione M → X sia un morfismo di spazi anellati. Se X = ???&out;Cⁿ e ???&out;f = ???&out;o, i sottoinsiemi distinti di (???&out;Cⁿ, ???&out;f) costituiscono la categoria degl'insiemi analitici. Uno "spazio analitico" è uno spazio di Hausdorff anellato che può essere ricoperto mediante aperti, ciascuno dei quali è isomorfo (come spazio anellato) a un insieme analitico di ???&out;Cⁿ.

Nella geometria degli spazi analitici si pongono le generalizzazioni dei problemi sui domini di olomorfia e questioni connesse (domini razionalmente convessi, problemi di Cousin, ecc.) affrontati da K. Oka fra il 1936 e il 1953. A tali generalizzazioni, culminanti nelle nozioni di spazio di Stein e di fascio coerente, hanno portato fondamentali contributi H. Cartan, J. P. Serre, K. Stein, H. Grauert, R. Remmert e R. Narasimhan.

5. Varietà di dimensione infinita. - Numerose questioni dell'analisi non lineare (inversione di applicazioni, problemi di biforcazione, ecc.), nonché svariate esigenze della geometria differenziale (per es., la necessità di dare una struttura di v. differenziabile allo spazio dei lacci, loop space, di una v., o allo spazio delle applicazioni differenziabili) conducono al concetto di v. differenziabile di dimensione infinita. Una v. di questo tipo è uno spazio di Hausdorff localmente omeomorfo a uno spazio di Hilbert o di Banach anziché a uno spazio vettoriale di dimensione finita, come nel caso classico. I cambiamenti di coordinate locali, definiti dagli omeomorfismi locali suddetti, sono espressi da applicazioni differenziabili fra aperti di spazi di Hilbert o di Banach, per le quali rinviamo al trattato di J. Dieudonné citato alla fine di questo articolo.

La geometria delle v. differenziabili di dimensione infinita procede per un certo tratto parallelamente a quella delle v. differenziabili classiche. Esistono tuttavia delle peculiarità della dimensione infinita. Secondo una di queste, stabilita da N. H. Kuiper nel 1965, il gruppo lineare di uno spazio di Hilbert separabile, di dimensione infinita, è contrattile.

Con una definizione simile possono introdursi le v. complesse localmente omeomorfe a spazi di Hilbert o di Banach complessi. Nel 1966 A. Douady ha introdotto la nozione di "spazio analitico di Banach", utilizzandola per introdurre una struttura di spazio analitico nell'insieme dei sottoinsiemi analitici compatti di uno spazio analitico dato.

Bibl.: R. Godement, Théorie des faisceaux, Parigi 1958; A. A. Markov, Insolubility of the problem of homeomorphy, in Proceeding International Congress Math, Edimburgo 1958, pp. 300-06; J. Dieudonné, Foundations of modern analysis., New York 1960; L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables, Princeton 1966; R. Narasimhan, Introduction to the theory of analytic spaces, Berlino 1966; E. Vesentini, Lectures on Levi convexity of complex manifolds and cohomology vanishing theorems, Bombay 1966; S. Lang, Differential manifolds, Reading (Mass.) 1972; G. D. Mostow, Strong rigidity of locally symmetric spaces, Princeton 1973; J. Hempel, 3-manifolds, ivi 1976.