VIBRAZIONI

VIBRAZIONI (App. II, 11, p. 1108)

Vanno rilevati alcuni notevoli complementi alle questioni di idro- e aeroelasticità precedentemente trattate.

Riguardano questi le vibrazionì delle funi, sotto l'azione del vento: quelle di grande ampiezza e lunghezza d'onda, dell'ordine della campata, e quelle invisibili, acusticamente sensibili e dannosissime per il materiale, dovute alle scie vorticose di Bénard-Kármán.

L'importanza di tali questioni è apparsa notevole nella recente realizzazione dell'attraversamento elettrico dello stretto di Messina che, per la lunghezza della campata centrale (3646 m), ha portato naturalmente a riconsiderare in modo approfondito tutti i problemi tecnici connessi: in particolare quello delle grandi vibrazioni in relazione al distanziamento dei conduttori; quello delle piccole vibrazioni per una previsione quantitativa delle sollecitazioni secondarie negli stessi. Atteso il carattere ripetuto di tali sollecitazioni si cercò naturalmente di eliminarle, là dove più insistevano, con adeguati ammortizzatori vibranti.

Nell'ambito delle vibrazioni alari, già trattate, si debbono considerare ormai attuali i regimi transonici, super- ed ipersonici. Di questi, come si sa, tipicamente critico è il transonico. Assai incerti sono i dati teorici e sperimentali che si hanno in merito a quest'ultimo, tanto che il miglior modo di ovviarne le difficoltà è di superarlo quanto più presto è possibile avvalendosi di mezzi sussidiarî di potenza o della gravità con l'attaccare la barriera sonora in picchiata. Si richiamano quasi circostanze che ricordano quelle sorprendenti della balistica esterna, per cui ad una velocità ipersonica una pallottola di cera può forare una tavola di legno, e, in certo senso, anche un principio generale secondo cui il limite superiore del cimento dinamico è proporzionale alla durata dell'azione.

In regime supersonico, anche se non è detto che tutto proceda facilmente, come si crede, sono già note le azioni aerodinamiche sull'ala battente ricavate nello spirito della teoria linearizzata di Prandtl e Glauert. Naturalmente il problema dinamico non è di primo piano per una struttura che deve superare, comunque, la barriera del suono e le gravi perturbazioni connesse alla comparsa delle onde d'urto, al fenomeno frequente dello stallo d'urto, cioè al distacco della corrente sul dorso dell'ala, ed alle perdite di portanza rese più gravi dal carattere istantaneo e dalla loro non contemporaneità sulle superfici portanti del velivolo. Va messa poi in rilievo la coesistenza difficile tra correnti subsoniche e supersoniche; infine, il riflesso delle oscillazioni della scia prodotte da onde d'urto in opposizione di fase sul bordo inferiore e superiore dell'ala.

In regime ipersonico i problemi termici sovrastano ogni altro.

Passando a questioni di minore attualità, si rileva che, nel dominio delle vibrazioni in generale, le vibrazioni autoeccitate sono sempre più di scena.

Dal punto dì vista analitico queste sono caratterizzate dalla presenza di esponenti caratteristici a parte reale positiva nelle soluzioni delle corrispondenti equazioni differenziali (v. stabilità, in questa App.). Dal punto di vista intuitivo, meccanico-fisico, le vibrazioni autoeccitate si possono definire come vibrazioni che traggono sostentamento e accrescimento da cause esterne regolate dalla vibrazione stessa e che vengono meno con il suo estinguersi: contrariamente dunque a quanto avviene per le vibrazioni forzate, sostenute sulla frequenza della perturbazione che è indipendente dalla vibrazione e che permane quando questa viene impedita. A proposito si cita talvolta l'esempio della macchina a vapore, il cui moto alternato (oscillatorio se si vuole) è sostenuto dalla pressione e regolato, attraverso un gioco di valvole di un noto servosistema, che risale a Watt, dal moto stesso, tanto che, se questo viene bloccato, la perturbazione, cioè il moto, si estingue. Per le oscillazioni autoeccitate un esempio è costituito da una nave con giroscopio antirollio e servocomando della precessione (da cui deriva il momento stabilizzante). Tale servocomando è costituito da un piccolo giroscopio rapidissimo e sensibile che regola i comandi della precessione forzata dello stabilizzatore sulla propria. Ma basta disporre i comandi medesimi in opposizione di fase perché un piccolo rollio, dovuto ad esempio ad una perturbazione iniziale, anziché smorzato risulti amplificato, sicché si può allora parlare di una autentica oscillazione di rollio autoeccitata.

Tutto ciò non avviene invece nell'esempio, tipico per le oscillazioni forzate, del disco rotante squilibrato che fa vibrare il proprio asse con forze centrifughe battenti alternativamente verso l'alto e verso il basso. Se la vibrazione dell'asse è impedita con l'inserimento di supporti, la forza alternata non si spegne, permane ed è sostenuta dai cuscinetti dei supporti stessi.

Ci soffermeremo qui soltanto su qualcuno tra i più espressivi e in certo senso meno noti dei problemi ora accennati.

1. Vibrazioni visibili delle funi. - Sono state studiate da E. I. Routh nella sua classica Dynamics e, con l'avvento della trasmissione elettrica a distanza, da più autori che hanno considerato perturbazioni varie. In sede applicativa sovrasta sempre l'incertezza sui parametri della perturbazione. Tuttavia è possibile arrivare a risultati utili mediante opportuni raffronti fra risultati teorici e osservazioni fatte non su modelli di laboratorio, ma addirittura su impianti in esercizio, seguendo un criterio adottato per trovare il distanziamento dei conduttori dell'attraversamento elettrico dello stretto di Messina.

Il procedimento generale è, brevemente, il seguente. Si comincia con il completamento dell'equazione classica delle vibrazioni trasversali w = w(x, t) della fune vibrante (v. onde, vol. XXV, pp. 356-362)

dove S₀ è il tiro, μ₀ e p(x, t) la massa e rispettivamente la forza perturbante per unità di lunghezza, l'apice e il punto sovrapposto significando derivazione rispetto, ordinatamente, alle coordinate x e t.

Dalla [1] si ha la velocità di propagazione, in un intorno in cui S₀ si iuò ritenere costante,

y_m indicando la cosiddetta lunghezma sospesa dei teleferisti data da

Il completamento della [1)]si fa aggiungendo a p(x,t) la resistenza viscosa − k₀w o quella idraulica − k0*w??? ∣ w??? ∣, il valore assoluto del valore di w??? essendo preso perché la resistenza deve aver sempre segno opposto a w???. Conviene anche aggiungere il termine non lineare w″w′² che interviene nelle grandi ampiezze. Si ha allora, in luogo della [1], una delle due determinazioni, lineare o no,

Da questa equazione, valida in via approssimata. per S₀ quasi costante, in tutti e due gli aspetti, si può calcolare w e quindi w_max, ad es. per le tre perturbazioni seguenti: a) a carico armonico p = p₀ sin νt conseguente a vento: b) a colpo di frusta, cioè perdita o applicaziorie (per liquefazione o formazione di ghiaccio) istantanea di un carico costante su tutta la campata; c) ad azione impulsiva.

Noto lo spostamento w massimo in funzione degli elementi geometrico-dinamici (campata L, freccia f, raggio r del conduttore, masse e smorzamenti μ, k₀, k0*) ed infine dei parametri (quantitativamente incerti) della perturbazione, si puo affermare che, per valori diversi

di L, f, ecc. si hanno (eonsideriamo qui il solo caso lineare) i seguenti valori massimi dello spostamento w₁ riferiti allo spostamento w,

Con riguardo all'attraversamento elettrico citato (L = 3646 m) si prese riferimento al distanziamento w₁ dell'esistente attraversamento del Po presso Piacenza e si trovò nei casi (a), (b), (c) ora considerati un'ampiezza massima di 21,97; 21.66; 12.24 m confermati in media anche dalle deduzioni del caso non lineare e per possibili altri valori di μ₀, k₀, k0*.

Poiché il colpo di frusta su una campata sì grande apparve ipotesi molto severa, si è ritenuto di assumere in tranquillità un distanziamento dei conduttori di 25,00 m chiudendo una vecchia e dibattuta questione.

2. Vibrazioni acustiche delle funi sono prodotte dalle scie di vortici che si staccano da esse quando sono investite dal vento. Tali scie sono di due tipi: simmetriche instabili ed asimmetriche stabili (cfr. fig.1, 2). Se il vento, cioè la corrente. ha velocità V, esse hanno velocità v 〈 V e la velocità relativa all'ostacolo è V-v. Il rapporto a = v/V è un numero fondamentale, sperimentalmente rilevabile in base al semplice conteggio del numero di vortici che si liberano nell'unità di tempo.

Il rapporto b tra la distanza l fra due vortici di un filare ed una dimensione D di riferimento dell'ostacolo (cilindrico indefinito) è, al pari di a, un numero fondamentale (per il cilindro circolare è b = l/D ≅ 4,3)

Infine, come condizione di stabilità, la distanza h tra due filari è legata ad l dalla relazione h/l = 0.283. Pertanto, la frequenza N con cui si stacca una coppia coniugata di vortici è

Da qui, per la base circolare, si ha la formula di Krüger e Lauth,

La scia provoca la resistenza idraulica, sempre nello stesso senso, conforme a quella sperimentalmente rilevabile, e provoca anche una portanza pulsante con la frequenza N, costante a tratti sui valori

con

Per il cilindro si ha quindi. in buon accordo con i valori sperimentali.

L'espressione della portanza, che provoca il caratteristico ronzio (Summer) dei fili telegrafici e genera ogni sorta di treni di onde sui conduttori. si scrive dunque, esprimendone in serie trigonometrica la variabilità a tratti tra valori eguali ed opposti nel periodo

Le massime ampiezze delle onde provocate quando la fune entra in risonanza, in regime viscoso, o, rispettivamente, idraulico, sono

con w ≅ 2πN = 0,40 πV/D.

Poiché la velocità v₀ delle onde è nota in base alle [2], la loro lunghezza risulta

Per onde sinusoidali del tipo

la curvatura massima della fune è

e da questa si risale alla sollecitazione specifica

da calcolare con riguardo alle [4a], [5a], [6], [7], E essendo il modulo d'elasticità (E ≃ 1.609 • 10⁶ kg cm^-2), β un fattore di riduzione (β 〈 1) per tener conto che la sezione resistente non è omogenea ma costituita da trefoli di filo d'acciaio.

Il conduttore dell'attraversamento dello Stretto di Messina ha un diametro D = 0,0268 m; per il pilota è D = 0.0103 m. Posto: g = 9,81 m • sec^-2, k₀ = 0.05 kg • m^-2 sec, ρ = 0.125 kg • m^-3/m • sec^-2 si ha con le formule sopra scritte il seguente complesso di dati, qui riportato a titolo di orientamento sui valori numerici delle entità considerate, per velocità del vento V =5,10, 15 m • sec^-1 e per β = 1.

Queste sollecitazioni ondose sono dannose e si cerca di ovviarle ammortizzandole all'arrivo agli attacchi con ammortizzatori vibranti dei tipi indicati in fig. 3-4. Il tipo a festoni, forse il più efficace, è stato sistematicamente adottato nell'attraversamento elettrico dianzi citato.

3. Vibrazioni alari per fluidi compressibili, in particolare in regime supersonico. - Sono considerabili alla stregua della teoria linearizzata di Prandtl e Glauert. Secondo questa, su un'ala sottile, a lametta, investita da una corrente fluida di velocità V agisce una portanza ??? per unità di lunghezza lungo la profondità, data da

essendo: ρ la densità del fluido, 2l la corda, α l'incidenza, positiva in senso cabrante, Cp′ il gradiente del coefficiente di portanza C_p. Per questo, ove s'introduca il numero M di Mach, rapporto tra la velocità V della corrente (o dell'ala se il fluido è fermo) e la velocità V_S del suono, si ha. tenendo conto della compressibilità anche in regime subsonico (M 〈 1),

Va fatto il rilievo che. nei trattati americani, nella [1] si ha il fattore 1/2 a destra e perciò il Cp′ della [2] appare moltiplicato per 2. Per M = 0 la prima delle [2] ricade nella nota espressione del Cp′ dei fluidi incompressibili. Corrispondentemente alla distribuzione delle pressioni p_v sul ventre e p_d sul dorso dell'ala nel caso sub- e supersonico, ??? è applicato (fig. 5a) nel cosiddetto fuoco, a (1/4)2l dall'attacco (bordo di entrata) per M 〈 1; nel mezzo, cioè (fig. 5b) a (1/2)2l dall'attacco) per M > 1. La [2] abbraccia pertanto tutto il campo delle velocità, salvo un intorno notevole della grave singolarità transonica M = 1.

Va osservato ancora che il cosiddetto gradiente del coefficiente di momento, Cm′. che sempre si accompagna al Cp′ (cfr. [4]), è, per l'ala a lametta, attesa la specificata posizione di P nel fuoco (M > 1) o, rispettivamente, al mezzo (M > 1), nullo in tutto l'intervallo.

A questo punto si può passare al caso dinamico introducendo la cosiddetta incidenza dinamica Δα al posto dell'incidenza α, data, come si deve dare, con riferimento non alla direzione della velocità V della corrente, ma alla velocità relativa della corrente rispetto al profilo oscillante. Se y è l'ordinata del centro elastico &out;e attorno a cui si pensa ruoti il profilo, e y > 0 è contato verso l'alto ed α > 0 è, come si è detto, cabrante, risulta evidentemente dalla fig. 6 che, in un punto di ascissa x del profilo stesso, è

Mediando ponderatamente su tutto il profilo, si porrà per x un valore x₀ che può essere. per M 〈 1, la distanza ???F-E??? del fuoco F da &out;e, positiva se &out;e sta dietro ad F rispetto alla corrente; e, rispettivamente, per M > 1, la distanza ???O-E??? da &out;e, valore ancora > 0 se &out;e sta dietro a O.

Pertanto, per &out;e al mezzo è x₀ = 1/4(2l) per M 〈 1, e x₀ = 0 per M > 1. Si rilevi che per M 〈 1 il riferimento di x₀ ad O anziché ad F, talvolta proposto, non sembra accettabile.

Le [1], [2] e [3] danno l'azione aerodinamica in tutto il campo di variabilità di V escluso il tratto transonico. Se, per M 〈 1, il profilo non è a lametta, o riguardabile come tale, alla forza ???, sempre applicata nel fuoco. si deve aggiungere un momento aerodinamico, che, per convenzione generale, si conta positivamente in senso picchiante, quindi in senso opposto a quello di α > 0 che è cabrante. come tutti gli altri momenti. Tale momento aerodinamico vale

Quindi, se è Cm′ 〈 0, come avviene per i profili stabili (per un profilo sottile si ha, ad es., Cm′ = − 0,25), risulta &scr;m 〈 0 secondo la convenzione in aerodinamica pocanzi richiamata. Per M 〈 1 si hanno esperienze sistematiche per i varî profili. Si rilevi che la deduzione elementare qui riportata associando le [2] alla [3] secondo la prima maniera dell'aerodinamica subsonica, trova buona conferma nelle deduzioni fatte da Possio sulle azioni aerodinamiche su profili oscillanti a velocità ultrasoniche.

Note le forze aerodinamiche si ha ormai quanto occorre per scrivere le equazioni per i piccoli moti del profilo. Ritenuto questo rigido, i parametri sono y ed α. Con riferimento ad un'ala di profondità unitaria si consideri una sospensione elastica che reagisce con forza − k_y allo spostamento y = 1, con momento − k_α alla rotazione α = 1 (cabrante). Se m è la massa, θ il momento d'inerzia rispetto ad &out;e, posto

x̄₀ = ???F-E??? oppure x̄₀ = ???O-E???, a seconda che è M 〈 1, o M > 1, si hanno le equazioni dinamiche (v. stabilità)

Γ_m essendo nullo per il profilo a lametta, negativo per i profili stabili, positivo per quelli instabili.

Per tener conto delle azioni dissipative, anziché introdurre nelle (6), o equazioni affini anche più generali, le solite resistenze viscose od idrauliche (lineari, o rispettivamente quadratiche nelle velocità di variazione dei parametri), conviene rifarsi alla molto più conforme nozione d'isteresi elastica. Vi si riesce con grande semplicità ammettendo un costante anticipo di fase delle forze elastiche sugli spostamenti che le provocano. Si introduce precisamente, dando luogo a cicli d'isteresi ellittici, il fattore e^i(νt+g), per i parametri quando questi intervengono nei termini di una forza elastica, e^iνt, quando i parametri stessi compaiono in qualsiasi altro termine. Nell'ambito delle costruzioni aeronautiche, è g = 0,50 ÷ 0,09, sicché si può porre senz'altro, in ogni caso, e^ig ≅ 1 + ig.

È da rilevare che qui interessa particolarmente cercare quel valore V_{cr di} V per cui λ è immaginario puro, cioè λ = iν. Un tale valore V_cr è critico in quanto l'esistenza di uno stato oscillatorio, in senso ordinario stabile, può esser sempre intesa come stato di transizione dalla stabilità (parte reale 〈 0) all'instabilità (parte reale > 0). Per λ = iν l'equazione caratteristica risulta naturalmente a coefficienti complessi. Si dà luogo così a due equazioni che servono a determinare V e ν, naturalmente critici solo se risultano reali. Merita rilevare che se si blocca α si ha moto oscillatorio smorzato se C′_p > 0.

Profili instabili hanno sempre un C′_p 〈 0 e danno luogo a vibrazioni espansive. La fig. 7 inindica serie di profili stabili ed instabili. Il profilo semicircolare con la faccia piana investita dalla corrente è instabile: può avvenire ad es. che i conduttori per attraversamenti elettrici assumano, per formazione di ghiaccio sotto vento, proprio la forma considerata. L'azione del vento dà allora luogo ad oscillazioni fortissime che possono portare alla rottura del conduttore.

Accanto alla portanza va considerata, per M > 1, la resistenza d'onda rilevantissima rispetto alla resistenza ordinaria. Questa si manifesta, poiché è inevitabile uno spessore per l'ala, attraverso la pressione sulla superficie del profilo, calcolabile al bordo di attacco con la relazione

θ₁ essendo l'angolo che ivi fa la tangente con la corrente asintotica V. A partire da questo valore p₁, p decresce, ove si passi ad una inclinazione della tangente, θ2 〈 θ₁, di una quantità

Da questa formula (fig. 8) si deduce la regola per il calcolo della pressione per tutta la superficie dell'ala. Alle variazioni di pressione positive e negative corrisponde una componente nel senso della velocità della corrente che dà proprio la resistenza d'onda. Questa resistenza può render più facili i casi d'instabilità statica. Soluzioni statiche instabili per le ali sono effettivamente possibili e sono state rilevate da Reissner come causa di svergolamento indipendente dal flottage.

4. Applicazioni nelle costruzioni navali della nozione di portanza di un profilo, di incidenza dinamica in particolare, si ritrovano nell'ormai sistematico impiego delle cosiddette pinne attivate antirollio. Si sono sostituite queste a tutti i sistemi antirollio, dalle casse d'acqua del Frahm ai giroscopî servocomandati di Schlick. di Schneider-Fieux, dello Sperry (cfr. App. II, 11, p. 1111), tanto nella marina militare quanto in quella mercantile. Si tratta di vere e proprie pinne ad alette disposte in corrispondenza al ginocchio lungo le fiancate della nave (1, 2 coppie e anche più se occorre) alle quali vengono impresse incidenze α_d e α_s sul fianco destro e sinistro tali che le incidenze dinamiche Δα_d e Δα_s calcolate con la [3] tenendo conto della corrente fluida, del rollio e del movimento orizzontale di deriva, di beccheggio e sussulto della nave, diano portanze antisimmetriche atte a creare il momento oscillante che stabilizza il rollio. Il comando dell'incidenza vien dato da un'unità di controllo costituita da un giroscopio pilota sensibilissimo che misura la velocità angolare, in particolare nei punti ove questa si annulla (in corrispondenza, o meglio con riguardo ai quali, attesa la convenienza di dare qualche anticipo, s'invertono le incidenze delle pinne). Al giroscopio si associa un accelerometro angolare ed uno lineare, a 2 o 3 componenti, che rileva il movimento trasversale e verticale della nave.

I segnali di questi delicatissimi dispositivi rivelatori vengono composti (miscelati) con un peso diverso, e, amplificati, vanno al servomotore. Da questo ricevono il movimento due unità sincro che trasmettono comandi di portanze eguali ed opposte alle pinne di destra e sinistra. Le portanze effettive misurate in sito dalla flessione dell'albero vengono, per retroazione, trasmesse al controllo. Da qui partono le correzioni di eventuali falsi angoli d'incidenza (cfr. [3]) dovuti a vorticosità e correnti parassite inevitabili ed anche comandi volti a evitare portanze eccessive capaci di condurre alla rottura dell'albero e alla perdita della pinna. Non occorre dire che anche con questo dispositivo antirollante si può provocare il rollio autoeccitato come con quello giroscopico, invertendo i comandi: ma, mentre nel caso del giroscopio la nave può stare ferma e autooscillare, nel caso attuale deve invece muoversi essendo affidata alla portanza tutta l'azione di momento. Si rilevi che con certi dispositivi antiquati con semplice controllo di velocità o con solo controllo d'angolo di rollio, l'autoeccitazione può avvenire anche senza artificio, poiché è in questi facile che uno degli esponenti caratteristici del sistema diventi immaginario o, peggio, a parte reale positiva. Nel sistema, oltre ai parametri che variano con lo stato del mare (lungo, corto, al traverso) ce nè uno influente più d'ogni altro: è la velocità V della nave, e questa, come s'è visto, interviene con il quadrato nelle formole della portanza.

Non occorre dire che la scrittura delle equazioni differenziali, in numero di due se si tien conto del solo rollio e della precessione del giroscopio pilota, di tre se si tien conto anche dei movimenti verticali del baricentro della nave, va fatta con il dovuto accorgimento agli accoppiamenti elettrici dell'anello costituito dai sistemi che lo formano. Una volta scritte le equazioni, i coefficienti e le variabili debbono esser ridotti a forma adimensionale. Soltanto allora il sistema può esser affidato ai calcolatori. Questi, avvalendosi dei mezzi moderni (macchine elettroniche analogiche), possono esaurire effettivamente tutta la problematica delle soluzioni. Le esperienze alla vasca ed in mare possono avere quindi una base teorica importante. I risultati oggi conseguiti sono estremamente brillanti. Anche nostre unità, la "Leonardo da Vinci" in particolare, sono dotate di un sistema antirollante siffatto. Tra i tipi più in vista va annoverato il Girofin dello Sperry, convertito al nuovo sistema pur dopo la realizzazione di impianti giroscopici potenti (il massimo, quello della turbonave "Conte di Savoia").

Bibl.: Società Generale Elettricità Sicilia, L'attraversamento elettrico dello stretto di Messina, cap. X, Roma 1958; G. Krall, Dinamica e aerodinamica dei fili, in Rend. Acc. Lincei, III (1947), fasc. 1-2 e V (1948), fasc. 5-6; Th. von Kármán, Aerodynamics, Ithaca, N.Y., 1954, cap. V; L. Bisplinghoff, H. Ashley, R. Halfman, Aeroelasticity, Cambridge, Mass., 1955, cap. IX; J.P. den Hartog, Vibrations mécaniques, Parigi 1960, cap. V; A. Būsemann, Aerodinamischer Auftrieb bei Überschallgeschwindigkeit, in Convegno per le alte velocità in aviazione, promosso dall'Accademia d'Italia, Roma 1935; R. von Mises, Theory of flight, New York 1958, cap. X; C. Possio, L'azione aerodinamica sul profilo oscillante alle velocità ultrasonore, in Acta Pont. Acad. Scient., I (1937), n. 11; J.H. Chadwick, On the stabilisation of roll, in Trans. SNAME, LXIII (1955); M. Frediani, Servosistemi per la stabilizzazione antirollio delle navi mediante pinne attivate, in Tecnica Italiana, 1960, fasc. 8.