zero

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Un numero che non vale nulla, ma conta molto

I numeri indicano quantità di oggetti, mentre lo zero ne segnala l’assenza. È davvero un numero? Quando si conta, si comincia da uno e pertanto lo zero non si usa, e anche nel linguaggio quotidiano si adopera raramente: chi non ha soldi in tasca, difficilmente dice di possedere zero euro. Eppure, se non vale nulla come numero, lo zero conta molto come cifra. Avere solo1 euro o 1.000 euro è ben diverso!

Lo zero come numero

Lo zero è un numero un po’ particolare, ed è comparso tardi nella storia umana. Né i Greci né i Romani avevano un simbolo o una parola per indicarlo e fu introdotto in Europa solo nel 13° secolo (numerazione). La parola zero è una trascrizione dell’arabo sifr che significa «vuoto» e probabilmente il simbolo 0 nacque contando (calcolo) con ciottoli sulla sabbia: quando si toglieva l’ultima pietra non rimaneva nulla, o meglio rimaneva soltanto un’impronta circolare.

In effetti, se il numero serve per indicare una quantità, lo zero si può identificare con il niente. Un insieme con zero elementi è vuoto; analogamente, se il risultato di una partita di calcio è 0-0, nessuna delle due squadre ha segnato gol. Tuttavia, la partita si è svolta e non si può dire che nulla sia accaduto. Non bisogna perciò spingere troppo in là l’analogia tra lo zero e il niente.

Lo zero come segnaposto

Se lo zero è utilizzato non come numero, ma come cifra, la sua presenza o meno fa la differenza e ha importanza il posto in cui si trova: il numero 39 indica trentanove unità, il numero 39.000 indica trentanove migliaia. Lo zero è necessario per scrivere i numeri secondo il sistema di numerazione posizionale e ne cambia di molto il valore.

Consideriamo i numeri 39, 0039, 39,00: sono o non sono la stessa cosa? Da un punto di vista aritmetico sì, ma in realtà – in alcune situazioni – hanno usi e significati diversi. Per esempio, 0039 è il prefisso internazionale che corrisponde all’Italia e, se si telefona dall’estero, occorre premettere tale prefisso: non si può digitare soltanto 39.

Il numero 39,00 potrebbe indicare un prezzo o una quantità misurata. Se 39,00 indicasse una massa in grammi, significherebbe che si è effettuata una misura precisa fino al centesimo di grammo, mentre 39 significherebbe che la misura è precisa fino al grammo.

Nelle quattro operazioni

Nelle operazioni lo zero ha proprietà molto particolari: non modifica il numero a cui si addiziona. Se con a si indica un qualunque numero, a + 0 = a (e inoltre a - 0 = a). Per questo suo ruolo è detto elemento neutro dell’addizione.

Il prodotto di qualunque numero per 0 è uguale a 0. Se con a si indica un numero generico, si ottiene a × 0 = 0.

0 è divisibile per qualunque altro numero non nullo e il risultato è proprio 0. Si ha 0 : a = 0. Tra l’altro, poiché è divisibile anche per 2, il numero 0 è pari.

Non si può dividere un numero per 0. Se si imposta con una calcolatrice la divisione per 0, sul visore compare un messaggio d’errore. Questa proprietà, molto importante in matematica, discende dalla precedente. Consideriamo un esempio di divisione per zero. Quanto fa 5 : 0? Se il risultato fosse 0, allora, poiché la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, dovrebbe essere 0 × 0 = 5; ma non è così! Se fosse 5, allora dovrebbe essere 5 × 0 = 5; ma ciò è in contraddizione con la regola precedente. Se fosse un altro numero x diverso da 0 o 5, ci troveremmo nella stessa situazione perché 0 × x = 0 e non 5. È semplicemente impossibile!

Nell’elevamento a potenza

La scrittura aⁿ significa che occorre moltiplicare a per sé stesso n volte (2³ significa 2 × 2 × 2 × 8). A questa operazione si dà il nome di elevamento a potenza e nasce come forma abbreviata della moltiplicazione. Che significato si deve dare allora alla scrittura a⁰? Non si può certo moltiplicare un numero per sé stesso zero volte! Per definizione, quando l’esponente è 0 il risultato è 1: si scrive dunque a⁰ = 1.

Questa ‘strana’ scelta dipende da motivi di coerenza, affinché continuino a valere tutte le proprietà delle potenze. Infatti, se si divide un numero per se stesso, il risultato è uguale a 1. Ma allora, anche nella divisione aⁿ:aⁿ il risultato deve essere 1. D’altra parte, il quoziente di due potenze con la stessa base si ottiene sottraendo gli esponenti.

Perciò: 1 = aⁿ:aⁿ = a^n–n = a⁰.