topologia, base di una
topologia, base di una
topologia, base di una sottofamiglia di aperti della topologia dalla quale è possibile ricostruire la totalità degli aperti della topologia stessa attraverso opportune unioni. Più precisamente, dato uno spazio topologico X con topologia T, un insieme β di aperti di X è una base di T se ogni aperto di X può essere ottenuto come unione (anche infinita) di elementi di β. Per esempio, la famiglia di tutti gli intervalli aperti costituisce una base della topologia euclidea di R (ogni aperto di tale topologia è infatti ottenibile come unione di intervalli aperti). Avere a disposizione una base della topologia su X semplifica lo studio dello spazio topologico X. Per esempio, l’assioma di → separazione (T2), che caratterizza gli spazi di → Hausdorff, è equivalente al seguente: presi comunque due punti distinti, esistono due elementi disgiunti della base della topologia che contengono rispettivamente l’uno ma non l’altro. La verifica di questa proprietà può risultare più semplice perché la base generalmente contiene molti meno aperti della topologia.
Il concetto di base è utile anche per costruire una topologia su un insieme dato X. Non è detto però che, data una famiglia β di sottoinsiemi di X, le unioni di elementi in β diano luogo a una topologia; non è detto cioè che ne soddisfino gli assiomi. Infatti, esiste una topologia su X di cui β è una base se e soltanto se sono soddisfatte le seguenti due condizioni:
• l’unione di tutti gli elementi in β dà X;
• presi comunque due elementi A e B di β e un elemento x nella loro intersezione, esiste un elemento C di β contenuto nell’intersezione di A e B e contenente x.