estensione

estensione

estensione in algebra, costruzione di una struttura più ampia di una struttura data, ma che contenga al suo interno una struttura isomorfa a quella data. Per esempio, il campo C dei numeri complessi è un’estensione del campo R dei numeri reali (i numeri complessi aventi parte immaginaria nulla formano un campo isomorfo al campo dei reali).

Estensione di un gruppo (o ampliamento di un gruppo)

Dati due gruppi H e N, un gruppo G è un’estensione di H mediante N se N è un sottogruppo normale di G (o più in generale se è isomorfo a un tale sottogruppo) e se il quoziente di G rispetto a N è isomorfo a H. Devono quindi essere verificate le due seguenti condizioni:

￭ N ⊲ G (il simbolo ⊲ indica che N è sottogruppo normale di G);

G /N ≅ H (il simbolo ≅ indica qui l’isomorfismo)

In generale, esistono tante possibili estensioni di un gruppo H mediante un dato gruppo N; la classificazione di tali estensioni non è un problema banale. Un esempio di estensione di H mediante N è il prodotto diretto N ×H: in questo caso la situazione è simmetrica, nel senso che H × N è contemporaneamente un’estensione di H mediante N e di N mediante H. Una diversa situazione si ha nel caso del prodotto semidiretto: questo è un secondo esempio di estensione di H mediante N ed equivale a richiedere, in aggiunta alle condizioni precedenti, l’esistenza di un omomorfismo φ: H → G tale che la composizione π ○ φ sia l’identità su H, dove π: G → H ≅ G /N è la proiezione al quoziente. Ogni gruppo finito può essere ottenuto attraverso successive estensioni di un gruppo semplice mediante gruppi semplici: in questo senso, nota la classificazione dei gruppi semplici finiti, la teoria delle estensioni dei gruppi comprende la classificazione dei gruppi finiti (→ Hölder, programma di).

Estensione di un campo (o ampliamento di un campo)

L’estensione di un dato campo K è un campo L contenente un sottocampo isomorfo a K; con un piccolo abuso di notazione, si scrive allora K ⊆ L, intendendo che la struttura di campo su K coincide con quella indotta da L. In modo equivalente, si dice che K si immerge in L (→ immersione). Se L è un’estensione di K, allora esso ha una naturale struttura di spazio vettoriale su K. Si definisce dunque il grado dell’estensione L (e si indica con il simbolo [L : K]) come la dimensione di L come spazio vettoriale su K. Un importante strumento per estendere un campo K è fornito dai polinomi in un’incognita a coefficienti in K. Se L è un’estensione di K, allora ogni polinomio a coefficienti in K è in particolare un polinomio a coefficienti in L. Si dice pertanto che un elemento α di L è algebrico su K se è radice di un polinomio a coefficienti in K. Per esempio, il numero reale √(2) è radice del polinomio a coefficienti razionali x 2 − 2 e quindi esso è algebrico su Q. Un’estensione di K è detta algebrica se ogni suo elemento è algebrico su K. Un’estensione che non è algebrica è detta trascendente e ha necessariamente grado infinito; equivalentemente, ogni estensione di grado finito è algebrica. Per esempio, R è un’estensione trascendente di Q: infatti il numero reale π e il numero reale e, come infiniti altri, sono numeri trascendenti, cioè non sono soluzioni di alcuna equazione a coefficienti razionali.

Dato un campo K, esiste sempre una sua estensione algebricamente chiusa; la minima siffatta estensione è detta la chiusura algebrica di K ed è indicata con il simbolo K̅. Quindi ogni polinomio a coefficienti in K possiede esattamente n radici in K̅ (contate con la rispettiva molteplicità). Fissato un particolare polinomio ƒ(x) a coefficienti in K, ha senso considerare la minima estensione L di K in cui ƒ(x) ha tutte le sue n radici: L è il minimo sottocampo di K̅ in cui ƒ(x) si fattorizza come prodotto di polinomi di grado uno. Una tale estensione L ⊇ K è detta il campo di spezzamento di ƒ(x) su K ed è unica (a meno di isomorfismo). Se n è il grado di ƒ(x), allora [L : K] ≤ n!, dove con n! si è indicato il fattoriale di n. Similmente si può considerare il campo di spezzamento di un’arbitraria famiglia di polinomi a coefficienti in K; una tale estensione di K è detta normale e gode della seguente proprietà (che di fatto definisce le estensioni normali): ogni polinomio irriducibile a coefficienti in K che possiede almeno una radice in L possiede tutte le sue radici in L. Le estensioni normali hanno la seguente importante proprietà: se L ⊇ F ⊇ K sono due estensioni di campi e se L ⊇ K è un’estensione normale, allora è normale anche l’estensione L ⊇ F.

Un’estensione L di K è detta semplice se è ottenuta da K aggiungendovi un solo elemento, cioè se esiste un elemento α di L tale che L è la minima estensione di K contenente α. Se questo è il caso, α è detto un elemento primitivo dell’estensione, che viene indicata con il simbolo K(α). Se α è un elemento algebrico su K e se ƒ(x) è il suo polinomio minimo su K, allora il grado [K(α) : K] coincide con il grado di ƒ(x) ed esiste un isomorfismo di campi tra K(α) e il campo K[x]/(ƒ(x)): poiché ƒ(x) è irriducibile, esso genera un ideale (ƒ(x)) che è massimale in K[x]; pertanto il quoziente K[x]/(ƒ(x)) è un campo. Un esempio di estensione semplice è fornito da C come estensione di R: in effetti C è il minimo campo contenente R e l’unità immaginaria i. Se la caratteristica del campo è 0 (come per esempio nel caso di Q o R), allora ogni estensione di grado finito possiede un elemento primitivo.

Lo studio delle estensioni normali è alla base della teoria di → Galois, grazie alla quale si può dimostrare la non risolubilità per radicali dell’equazione generale in un’incognita di grado n > 4.