norma

norma

Sia X uno spazio vettoriale. Un’applicazione ∣∣∙∣∣:X→ℝ si dice una norma se verifica i seguenti assiomi: (a) ∣∣x∣∣≥0, per ogni x∈X; ∣∣x∣∣=0 se e soltanto se x=0; (b) ∣∣λx∣∣=∣λ∣·∣∣x∣∣, per ogni x∈X e λ∈ℝ; (c) ∣∣x+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣. Il terzo assioma è detto disuguaglianza triangolare. L’assioma (a) è talvolta indebolito abbandonando la richiesta che ∣∣x∣∣=0 se e solo se x=0 e si parla in questo caso di seminorma. La coppia (X,∣∣∙∣∣) si dice spazio normato. Un esempio di spazio normato è (ℝ,∣∙∣) (qui come sopra ∣λ∣ indica il valore assoluto di λ). Si noti che su uno spazio normato (X,∣∣∙∣∣) è sempre possibile definire una distanza (metrica) tramite la formula

d(x₁, x₂) = ∣∣x₁−x₂∣∣ x₁, x₂∈X

e dunque uno spazio normato è uno spazio metrico. Non è vero viceversa. Il concetto di distanza è infatti, da un lato, più generale in quanto essa può essere definita anche in assenza di una struttura di spazio vettoriale sull’insieme X, dall’altro più debole in quanto una distanza su uno spazio vettoriale non è necessariamente una norma. Se infatti gli assiomi (a) e (c) possono essere soddisfatti definendo ∣∣x∣∣=d(x,0), la moltiplicazione per un numero reale di un elemento di X non ha alcun riscontro negli assiomi che una distanza deve a sua volta soddisfare proprio per la sua generalità. Uno spazio normato e completo (come spazio metrico), ossia tale che ogni successione di Cauchy è convergente, si dice spazio di Banach. Non è affatto necessario che lo spazio normato (X,∣∣∙∣∣) sia uno spazio vettoriale a dimensione finita. Al contrario, la nozione astratta di norma fu introdotta da Stefan Banach proprio al fine di studiare le proprietà di spazi normati di dimensione infinita. Importanti esempi sono lo spazio C⁰([a,b]) delle funzioni f:[a,b]→ℝ continue su un intervallo chiuso [a,b] della retta reale ℝ munito della norma ∣∣f ∣∣_∞=sup_[a,b]∣f ∣ o gli spazi L^p([a,b]) con norma

∫_a^b∣f (x)∣^pdx, p>0 .

→ Analisi matematica