passeggiata aleatoria

passeggiata aleatoria

In fisica, descrizione delle leggi che governano al trascorrere del tempo il movimento a. di una particella di materia nello spazio, per es. il moto delle molecole di un gas; si tratta dunque di p. a. (ingl. random walks) multidimensionali. Nelle applicazioni economico finanziarie, invece, si utilizzano prevalentemente p. a. unidimensionali, le quali descrivono i movimenti nel tempo del prezzo di un’attività finanziaria o di altre singole variabili di interesse economico-finanziario. Pioniere di queste applicazioni fu, all’inizio del 20° sec., L. Bachelier. Più recentemente, una p. a. è stata utilizzata per l’applicazione della formula di Black-Scholes per il prezzamento di opzioni (➔ opzioni, teoria delle). I modelli di p. utilizzati in queste applicazioni, pur essendo relativamente sofisticati, si ottengono mediante trasformazioni di un modello base molto elementare.

Modello base di passeggiata aleatoria

Nel modello base la p. avviene su una retta e può essere interpretata nel modo seguente. Fissato su un asse un punto origine e, e scelta una unità di misura u, si considerino i punti di ascissa hu con h intero (positivo o negativo) qualunque. Si prenda in considerazione una particella inizialmente posta nell’origine: per effetto di un primo urto essa si sposta nel punto di ascissa +u^1/2 oppure −u^1/2; in seguito a un altro urto ritorna all’origine o transita nel punto di ascissa 2u^1/2 e così via. La probabilità di uno spostamento a destra è, a ogni passo e indipendentemente dal cammino percorso nei passi precedenti, e dal tempo trascorso dall’inizio della passeggiata, uguale alla probabilità di uno spostamento a sinistra, quindi ovviamente è uguale a 1/2. Per quanto riguarda il tempo, gli spostamenti avvengono con cadenza regolare a intervalli di ampiezza u. L’interpretazione economica di un tale schema prevede, a ognuno degli istanti di spostamento, una scommessa con posta u^1/2 (scommessa vinta se il passo è a destra, persa altrimenti). Il posizionamento a una certa epoca corrisponde allora alla determinazione assunta dalla variabile guadagno cumulato (somma algebrica dei guadagni di ciascuna delle scommesse). È facile dimostrare che in questo schema di p. la distribuzione di probabilità del guadagno cumulato all’epoca t=nu (dopo n spostamenti) è binomiale con media 0 e varianza t. Il senso di tale asserzione è che il guadagno cumulato è (2k−n)·u con probabilità pari a quella della vincita di esattamente k scommesse sulle n totali. Si pensi ora di variare u facendolo tendere a 0, ma modificando contemporaneamente (ovvero facendo divergere) n in modo che il prodotto nu sia sempre pari a t. La distribuzione di probabilità del guadagno cumulato converge allora a una distribuzione normale sempre con media 0 e varianza t. In particolare, per t=1 il guadagno cumulato tende a una distribuzione normale standard, cioè di media 0 e varianza 1. Al variare di t, l’insieme delle variabili che descrivono il guadagno cumulato a. in funzione di t è un processo aleatorio (➔).

Processo di Wiener

Il processo di guadagno cumulato associato alla p. a. nella versione continua descritta nel paragrafo precedente è detto processo di Wiener standard. Una prima variazione di questo schema base consiste nel modificare la posta di ogni partita moltiplicandola per un coefficiente positivo s, divenendo quindi su^1/2. In tal caso, la distribuzione limite del guadagno a. al tempo t ha varianza s²t e sempre media 0. Una seconda modifica prevede che in aggiunta alle poste variate come descritto, vi sia a ogni colpo un guadagno algebrico certo mu (positivo se m>0, negativo in caso contrario). La distribuzione limite del guadagno a. al tempo t è sempre normale ma ora con media mt e varianza s²t. L’equazione differenziale stocastica che governa tale processo è dG=mdt+sdW, dove con dW si indica il differenziale del processo di Wiener e con dG il differenziale del processo continuo del guadagno cumulato. Questa equazione fu utilizzata da Bachelier per i suoi pionieristici studi sulle variazioni dei prezzi azionari. La soluzione dell’equazione, con la condizione iniziale G(0)=0 è il processo aleatorio G(t)=mt+sW(t), dove W è appunto la generica variabile a. del processo di Wiener. Nel prezzamento di opzioni si utilizzano p. a. di sottostanti descritte da differenziali del tipo dA=μAdt+sAdW, la cui soluzione, con la condizione iniziale A(0)=0, è A(t)=A(0)·exp((μ−s²/2)·t+sW(t)). Si tratta di versioni continue delle p. associate alla sequenza di scommesse, in cui non vi è più costanza del passo, ma costanza del rapporto a. fra due posizioni consecutive A((n+1),u)/A(n,u). Esso può assumere determinazione exp(mu+su^1/2) in caso di scommessa vinta oppure exp(mu−su^1/2) in caso di scommessa persa, con μ=m+s²/2.