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processo stocastico

Enciclopedia della Matematica (2013)
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processo stocastico


processo stocastico successione di variabili aleatorie con la quale si rappresenta un sistema che si sviluppa nel tempo e nello spazio secondo leggi probabilistiche. Un processo stocastico è solitamente indicato con il simbolo {Xt; t ∈ T} dove Xt è la generica variabile aleatoria della successione, cioè la variabile che descrive i possibili valori al tempo t, e T è un insieme discreto o continuo. Le variabili Xt della successione possono essere continue o discrete e corrispondentemente il processo è detto continuo o discreto. Per esempio, se una moneta viene lanciata più volte e si realizza una vincita se la moneta mostra una testa (indicata con 1), la successione di variabili aleatorie Xt (con le rispettive probabilità)

formula

costituisce un processo stocastico discreto, essendo le Xt variabili casuali discrete. In modo analogo, seT è continuo e, in particolare, è un intervallo, si parla di processo stocastico a parametro continuo, mentre se T è un insieme discreto si parla di processo stocastico a parametro discreto. Un esempio importante di processo stocastico a parametro continuo è costituito dalla distribuzione di → Poisson, impiegata quale modello probabilistico nello studio di svariati problemi di fisica legati a eventi casuali. Il più semplice esempio di processo stocastico a parametro discreto è costituito dalla passeggiata casuale o → random walk.

I valori via via assunti dalla variabile aleatoria sono detti stati del processo e l’insieme dei possibili stati è detto spazio degli stati. La successione delle osservazioni è detta realizzazione o storia del processo stocastico.

Nelle applicazioni si è spesso interessati al momento t in cui il processo stocastico entra per la prima volta in uno stato prefissato a. Lo stato prefissato è detto barriera assorbente e il tempo t in cui avviene il primo passaggio è chiamato tempo di assorbimento. A volte le barriere assorbenti sono due: una superiore e una inferiore e il processo ha termine non appena una barriera viene raggiunta.

Nei processi stocastici la probabilità dei diversi stati al tempo t può dipendere soltanto dallo stato assunto dal sistema nel tempo precedente oppure può dipendere da come si è arrivati allo stato del tempo precedente. Nel primo caso si parla di processo stocastico markoviano, mentre i secondi sono detti processi stocastici non markoviani. Se le probabilità dei diversi stati all’istante (t + s) dipendono soltanto da s e non da t, si dice che il processo stocastico è omogeneo. I processi stocastici markoviani omogenei e a parametro discreto sono detti catene di → Markov e hanno applicazioni particolarmente importanti.

Vedi anche
mòto browniano Moto irregolare e continuo di particelle solide microscopiche (per es. pollini o resine) sospese in un fluido. La sua scoperta (1827) viene attribuita al botanico scozzese R. Brown (1773-1858), da cui il fenomeno ha preso nome. Il m.b. è dovuto all'agitazione termica delle molecole del fluido che urtano ... speranza matematica S. matematica di una variabile casuale è la somma dei prodotti dei valori che essa assume per le rispettive probabilità. S. matematica di un giocatore in un gioco d’azzardo è la vincita o perdita che, in media, il giocatore deve aspettarsi a priori, in base alle probabilità degli eventi legati ... Andrej Nikolaevič Kolmogorov Matematico (Tambov 1903 - Mosca 1987), prof. di teoria delle probabilità all'università di Mosca dal 1938 al 1966 e poi direttore dei laboratorî di metodi statistici, membro dell'Accademia delle scienze dell'URSS (dal 1939), premio Balzan (nel 1963). A K. si debbono importanti ricerche in varî rami della ... insieme numerabile In matematica, insieme che può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri interi naturali. Un insieme n. è dunque necessariamente un insieme infinito; ogni suo sottoinsieme è finito oppure è esso stesso n.; da ciò segue che agli insiemi n. corrisponde il minimo n. cardinale transfinito ...
Tag
  • PROCESSO STOCASTICO MARKOVIANO
  • DISTRIBUZIONE DI → POISSON
  • VARIABILE ALEATORIA
  • RANDOM WALK
Altri risultati per processo stocastico
  • processo aleatorio (processo stocastico)
    Dizionario di Economia e Finanza (2012)
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  • Stocastica
    Enciclopedia del Novecento (1984)
    MMark Kac di Mark Kac SOMMARIO: 1. Preliminari. □ 2. Alcune sottigliezze matematiche. □ 3. Alcune classi generali di processi stocastici con esempi: a) processi di Markov con spazio degli stati finito e tempi discreti (catene di Markov); b) processi di Markov con spazio degli stati finito e tempo continuo; ...
Vocabolario
stocàstico
stocastico stocàstico agg. [dal gr. στοχαστικός «congetturale», propr. «che mira bene, abile nel congetturare», der. di στοχάζομαι «mirare, congetturare» da στόχος «bersaglio, mira, congettura»] (pl. m. -ci). – 1. Nel calcolo delle probabilità,...
procèsso
processo procèsso s. m. [dal lat. processus -us, propr. «avanzamento, progresso», der. di procedĕre «procedere»; il sign. giuridico è del lat. mediev. (ellissi di processus iudici «svolgimento del giudizio»); già classico invece il sign....
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