progressione geometrica
progressione geometrica
progressione geometrica successione {a0, a1, …, an, …} in cui il rapporto di ciascun termine (eccettuato quello iniziale) con il precedente è costante; tale rapporto costante è detto ragione della progressione geometrica. Per esempio, {2, 4, 8, 16, 32, 64, …} è una progressione geometrica con termine iniziale a0 = 2 e ragione q = 2. Se q è la ragione di una data progressione geometrica, allora la successione risulta completamente determinata dal suo primo termine a0 tramite la formula per ricorrenza an = qan−1, da cui si ricava an = qna0. La successione delle somme sn dei termini di una progressione aritmetica costituisce una serie, detta → serie geometrica. La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è a0(1 −qn)/(1 −q), se q ≠ 1. Si può utilizzare tale formula, generalizzandola a infiniti termini; in una progressione geometrica con |q| minore di 1 la somma di infiniti termini è un numero finito espresso da S∞ = a0/1 −q. Si può utilizzare tale formula per determinare la frazione generatrice di un numero periodico. Per esempio, 0,3̅ è una serie associata alla progressione geometrica il cui primo termine è a0 = 3/10 e di ragione q = 1/10. Si ottiene S∞ = (3/10)/(9/10) = 1/3.