Riemann, funzionezetadiRiemann, funzionezetadifunzione ζ(s) della variabile complessa s, definita per Re(s) > 1 (ossia nell’insieme A dei numeri complessi s con parte reale maggiore di 1) dalla [...] 1. Sempre per Re(s) > 1, risulta
La funzione ζ(s) si annulla nei punti s = −2n, con n intero (zeri “banali”); ha inoltre infiniti zeri nella striscia 0 < Re(s) < 1. Secondo l’ipotesi diRiemann tali zeri si trovano tutti sulla retta Re(s ...
Leggi Tutto
Matematico tedesco (Breselenz, Hannover, 1826 - Selasca, presso Intra, 1866). Autore di fondamentali lavori, seppur non numerosi, che hanno aperto diversi campi di ricerca nella matematica moderna. In [...] devono notevoli contributi alla teoria dei numeri, nella quale egli calcolò (1859), a partire da una funzionedi variabile complessa (funzionezetadi R.), e mediante una formula asintotica, il numero dei numeri primi inferiori a un numero assegnato ...
Leggi Tutto
Riemann, ipotesi diRiemann, ipotesi di o congettura diRiemann, congettura formulata nel 1859 da B. Riemann su una particolare distribuzione degli zeri non banali della funzionezetadi → Riemann. Tale [...] primi minori o uguali a x, e con li (x) la funzione logaritmo integrale – entrambe introdotte da C.F. Gauss che ne ipotizzò la convergenza asintotica – la validità dell’ipotesi diRiemann equivale ad affermare che
dove O è il simbolo → O grande e ...
Leggi Tutto
funzione generatrice
funzione generatrice della successione {cn(z)}, è una funzione w(z, t) che ammetta lo sviluppo di → Maclaurin
La funzione generatrice delle partizioni di un insieme di n elementi [...] delle serie di → Dirichlet, come la funzione
Per esempio, la funzione toziente di → Eulero è generata da
e la funzionedi → Möbius è generata da
dove con ζ(s) si è indicata la funzionezetadi → Riemann.
Per la funzione generatrice dei ...
Leggi Tutto
Ciascuno degli enti astratti che costituiscono una successione ordinata e che, fatti corrispondere ciascuno a ciascun oggetto preso in considerazione, servono a indicare la quantità degli oggetti costituenti [...] dei n. primi, questioni che appunto si ricollegano a proprietà difunzionidi variabile complessa come la funzionezetadiRiemann. Altri problemi studiati nella teoria analitica dei n. riguardano la funzione p(n) che per ogni n. naturale n dà il ...
Leggi Tutto
(XIV, p. 132; App. III, i, p. 564; IV, i, p. 714; v. equazioni differenziali, App. V, ii, p. 131).
Il concetto generale di e. in matematica è trattato nella voce equazioni del vol. XIV dell'Enciclopedia [...] fisica e in ingegneria. Oltre alle funzioni elementari seno, coseno e logaritmo, limitandoci alle funzionidi una variabile si possono citare la funzione gamma, la funzionezetadiRiemann, le funzioni ipergeometriche e le loro confluenti (le quali ...
Leggi Tutto
PRODOTTI INFINITI
Tullio Viola
Data una successione d'infiniti numeri, reali o complessi,
formiamo la nuova successione
con P1 = a1, P2 = a1 a2, ..., Pn = Pn-1 an = a1 a2 ... an-1 an, ... Per evitare [...] (1 − 1/ps), nel quale l'indice p percorre ordinatamente la successione dei numeri primi, è di applicazione frequente in teoria dei numeri.
Si dimostra che è:
dove
è la celebre funzionezetadiRiemann.
Posto s = σ + i t (con σ e t reali), il p. i. [9 ...
Leggi Tutto
La grande scienza. Cronologia scientifica: 1961-1970
1961-1970
1961
Famiglia universale. Il giapponese Masatake Kuranishi mostra che esiste sempre un certo tipo di famiglia olomorfa di strutture complesse [...] , la prima stima non banale per il resto nel teorema dei numeri primi senza far uso delle proprietà della funzionezetadiRiemann. Tale risultato, comunque inferiore a ciò che è noto per via analitico-complessa, sarà migliorato da H.G. Diamond ...
Leggi Tutto
Probabilità
Gian-Carlo Rota e Joseph P.S. Kung
*La voce enciclopedica Probabilità è stata ripubblicata da Treccani Libri, arricchita e aggiornata da un contributo di Marco Li Calzi.
sommario: 1. Introduzione. [...] per b costituiscano eventi indipendenti. Le probabilità naturali sugli interi che ciò sia vero sono definite mediante la funzionezetadiRiemann ζ(s):
Sotto opportune condizioni sull'insieme A, il limite P8(A), quando il parametro reale s tende ...
Leggi Tutto
Numeri, teoria dei
LLarry Joel Goldstein
di Larry Joel Goldstein
SOMMARIO: 1. Introduzione: a) argomenti fondamentali; b) la teoria dei numeri nel XVII e XVIII secolo; c) Gauss. □ 2. Teoria algebrica [...] χ):
Se k =1 e χ è l'unico carattere modulo 1 che è identica- mente 1, allora L(s, χ) è la funzionezetadiRiemann. In generale L(s, χ) si rappresenta mediante il seguente prodotto euleriano:
dove il prodotto è esteso a tutti i primi.
È possibile ...
Leggi Tutto