equazione differenziale lineare, integrale di una
equazione differenziale lineare, integrale di una espressione che, senza ulteriori specificazioni, indica l’integrale generale di un’→ equazione differenziale, [...] (→ matrice wronskiana)
e det(W 1,2(x, t)) è il determinante
Tale integrale soddisfa il problemadiCauchy p(x0) = p′ (x0) = 0. La scelta di x0 è arbitraria, purché in tale punto le funzioni siano continue. Per esempio (si noti la struttura ...
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I modelli variazionali
I modelli variazionali
Con la nascita del calcolo infinitesimale, equazioni alle differenze ed equazioni differenziali sono venute a costituire uno strumento privilegiato nella [...] al limite per Δt → 0, si ottiene p′ (t) = −ap(t) con la ovvia condizione iniziale p(0) = 1. Questo problemadiCauchy, con un’equazione differenziale lineare, costituisce il modello matematico cercato. La sua soluzione è data dalla funzione p(t) = e ...
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Laplace, trasformazione di
Laplace, trasformazione di utile strumento per lo studio di equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali, perché permette di trasformare problemi [...] (→ convoluzione). Questo risultato è particolarmente utile nelle applicazioni. Per esempio, se si deve risolvere il problemadiCauchy X(0) = 3 per l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti X′ + kX = ƒ(t), trasformando entrambi ...
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equazione differenziale, problemi ai limiti per una
equazione differenziale, problemi ai limiti per una problemidi grande importanza in quelle applicazioni in cui vengono assegnate delle condizioni [...] solo localmente nell’intorno dei dati iniziali. Si dice perciò che i problemi ai limiti sono problemi in grande, a differenza del problemadi → Cauchy, che è a priori un problema in piccolo, nel senso che la sua soluzione è ricercata in un intorno ...
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equazione differenziale
equazione differenziale equazione che stabilisce un legame tra una o più funzioni incognite e una o più delle loro derivate (parziali se le variabili indipendenti sono più di [...] si chiama integrale generale dell’equazione data; nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità delle soluzioni per il problemadi → Cauchy, esso è costituito da una famiglia di curve (curve integrali) dipendente da n costanti arbitrarie (→ curva ...
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equazione differenziale alle derivate parziali
equazione differenziale alle derivate parziali equazione differenziale nella quale l’incognita dipende da due o più variabili, per cui le derivate sono [...] da F(α (x, y, u), β(x, y, u)) = 0, dove F è una funzione arbitraria.
Per un’equazione del secondo ordine, nel problemadiCauchy si dovrebbero assegnare le due derivate parziali ma, data la relazione ux(x, y(x)) + uy(x, y(x))y′ (x) = φ′(x), basta ...
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Fourier, trasformazione di
Fourier, trasformazione di relazione corrispondente allo sviluppo in serie di Fourier nel caso di funzione non periodica definita su tutto R. Si supponga innanzitutto che la [...] per la d)
L’equazione
è ora un’equazione differenziale ordinaria, a coefficienti costanti, per cui la soluzione del problemadiCauchy, che si trasforma a sua volta in
è esplicitamente calcolabile, e risulta:
Il primo addendo, trasformando il ...
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sistema differenziale
sistema differenziale sistema di equazioni (o disequazioni) differenziali le cui soluzioni sono date dalle n-ple di funzioni che soddisfano tutte le formule differenziali che lo [...] se le incognite sono indicate con xk(t), 1 ≤ k ≤ n, un sistema in forma normale assumerà la forma
Il problemadi → Cauchy che si ottiene assegnando il dato iniziale
ammette una e una sola soluzione se le funzioni ƒk sono continue e soddisfano la ...
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integrale
integrale termine, introdotto da Jakob Bernoulli nel 1695, usato per indicare una delle nozioni fondamentali dell’analisi matematica, collegata sia al problema della determinazione dell’area [...] forma
In generale, un integrale di una equazione differenziale è determinato da un problemadi → Cauchy; tuttavia non esiste una formula che risolva analiticamente questo problema, ma si è in grado di determinare l’espressione della soluzione solo ...
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Runge-Kutta, metodo di
Runge-Kutta, metodo di locuzione che indica una famiglia di metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali i quali, per la stima dell’integrale soluzione dell’equazione, [...] usano il metodo di quadratura noto come metodo di → Cavalieri-Simpson. Tutti i metodi di Runge-Kutta che risolvono numericamente il problemadi → Cauchy y' = ƒ(x, y) con la condizione iniziale y' (x0) = y0 possono essere ricondotti alla formula ...
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