Fourier, serie di
Fourier, serie di in analisi, serie di funzioni goniometriche associata a una funzione periodica, di cui costituisce il cosiddetto sviluppo, nel senso che la funzione data è la somma [...] e T = 2π. La funzione è pari, quindi ∀n, bn = 0. Risulta a0 = π, an = −4/(πn2) per n dispari, an = 0 per n pari. La serie di Fourier associata a ƒ(x) è dunque:
che converge a ƒ(x) uniformemente su R. Per x = 0 si ottiene
da cui
L’uguaglianza di ...
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Taylor, serie di
Serie di potenze (➔ serie matematica) elaborata da B. Taylor, i cui addendi contengono potenze dell’argomento x di una funzione f. La serie di T. di una funzione f(x) definita in un [...] e la sua somma è uguale a f(x), allora la funzione f si dice analitica. In particolare, se a=0, tale serie è chiamata serie di MacLaurin. Esempi di funzione analitica sono la funzione esponenziale f(x)=ex= Σ∞n=0xn/n!, la funzione logaritmica (per ∣x ...
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serie di potenze
serie di potenze serie di funzioni della forma
dove z = x + iy è una variabile complessa, z0 (punto iniziale della serie) un punto di C, insieme dei numeri complessi, e an sono coefficienti [...] si riduce a un intervallo di centro il punto iniziale (O se tale punto è l’origine).
Circa i criteri di convergenza per una serie di potenze, la convergenza è uniforme in ogni cerchio chiuso con centro in z0 e raggio r < R (teorema di Weierstrass ...
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matrici, serie di
matrici, serie di estensione delle serie di → Maclaurin (e di → Taylor) da variabili complesse a matrici. Si consideri per esempio la serie esponenziale
e al posto della variabile [...] La formula è resa utilizzabile nella pratica dal fatto che il calcolo dell’esponenziale può essere eseguito senza far uso della serie. Infatti se la matrice A è diagonalizzabile (→ diagonalizzazione), si ha A = PDP−1, e quindi An{{{1}}}PDnP−1, da cui ...
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serie di funzioni
serie di funzioni serie i cui termini sono funzioni reali o complesse tutte definite in uno stesso insieme di un conveniente spazio complesso o reale. Limitandosi al caso di funzioni [...] la uniforme convergenza la tesi può non sussistere, per esempio:
formula
Se le funzioni ƒn(x) sono derivabili e se anche la serie delle derivate converge uniformemente in E, la somma ƒ(x) è derivabile e risulta
formula
Infine, se [x0, x] ⊆ E, si ha ...
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Laurent, serie di
Laurent, serie di serie di potenze positive o negative di z − z0 in cui si sviluppa una funzione analitica ƒ(z), olomorfa in una corona circolare Ω di centro z0. L’espressione della [...] polinomio di → Laurent e z0 è un polo per ƒ; se infiniti coefficienti sono nulli, z0 è una singolarità essenziale per ƒ.
La serie di Laurent relativa al punto all’infinito è uno sviluppo di ƒ della forma
convergente per |z| > R; in questo caso ...
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serie delle potenze
serie delle potenze particolare serie geometrica di ragione x (con x numero reale qualsiasi) e primo termine 1:
formula
La sua convergenza si ricava da quella della serie geometrica: [...] x e converge se |x| < 1 e ha come somma 1/(1 − x 2):
formula
• la serie delle potenze dispari, che converge se |x| < 1 e ha come somma x/(1 − x 2)
formula
• la serie delle potenze a segno alterno, che converge se |x| < 1 e ha come somma 1/(1 ...
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Grandi, serie di
Grandi, serie di serie numerica
oscillante, le cui somme parziali sono alternativamente 0 e 1. Questa serie, che prende il nome dal matematico e teologo G. Grandi che la introdusse [...] 1 − S, da cui S = 1/2; ma ciò ha senso naturalmente solo se S esiste. Grandi e Lebniz attribuivano alla serie anche significati teologici, quale per esempio la creazione dal nulla suggerita dall’uguaglianza (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + ... = 1/2 ...
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serie
sèrie s. f. [dal lat. series, der. di serĕre «intrecciare, infilare»]. – 1. Successione ordinata e continua di elementi, concreti o astratti, dello stesso genere: è il quarto nella s. dei papi, degli imperatori romani; la s. dei numeri...
serata
s. f. [der. di sera; il sign. 3 ricalca il fr. soirée]. – 1. Lo stesso che sera, spec. con riferimento allo stato del cielo, dell’aria e della temperatura: una s. calda, afosa; una s. fredda, piovosa; una tiepida s. di primavera. 2....