L'Ottocento: matematica. Il rigore in analisi
Umberto Botta
Il rigore in analisi
L'eredità di Lagrange
All'epoca della Rivoluzione francese, l'esigenza di formare una classe di ingegneri civili e militari [...] data serie è che per valori crescenti di n, le sommeparziali dei primi n, n+1, n+2,… termini [x0, X] Cauchy considerava una suddivisione arbitraria dell'intervallo in n parti e la somma S dei prodotti
[13] S=(x1-x0)f (x0)+(x2-x1)f(x1)+…+(X-xn ...
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L'Eta dei Lumi: matematica. I metodi numerici
Peter Schreiber
I metodi numerici
Il XVII sec. è stato in generale un 'secolo geometrico'. A parte alcune considerazioni di carattere puramente numerico, [...] quanto non facessero gli studiosi britannici del tempo. Anche il problema di trovare una formula per esprimere le sommeparziali, problema che naturalmente ha senso anche per le serie divergenti, era affrontato spesso. Leibniz lavorò invano per anni ...
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numero
nùmero [Der. del lat. numerus] [LSF] Oltre che nei vari signif. propri della matematica, alcuni dei quali sono ricordati oltre, il termine è usato in varie discipline fisiche anche come sinon. [...] ◆ [PRB] Legge debole dei grandi n.: data una successione Xn di variabili casuali indipendenti e la successione Sn=X₁+ ...+Xn delle loro sommeparziali, tale legge è verificata se [Sn-E(Sn)]/n tende in probabilità a ✄, cioè per ogni ε>0 è: limn→∞ P ...
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Fourier, serie di
Fourier, serie di in analisi, serie di funzioni goniometriche associata a una funzione periodica, di cui costituisce il cosiddetto sviluppo, nel senso che la funzione data è la somma [...] a quale valore essa converga, è piuttosto complesso. Condizioni sufficienti sono state date da L. Dirichlet, che espresse le sommeparziali nella forma detta integrale di → Dirichlet, da U. Dini, R. Lipschitz e altri. Se ƒ ammette solo discontinuità ...
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sommazione, metodi di
sommazione, metodi di metodi volti a estendere la definizione di somma di una → serie numerica, allo scopo di assegnare un valore anche a serie che non risultano convergenti in [...] − 4 + 5 − … è sommabile C2 al valore 1/4. Si dimostra pure che se una serie è Ck-sommabile, sia i suoi termini an sia le sommeparziali sn sono o(nk) (si veda → o piccolo). Viceversa, se
è Ck-sommabile e an = O(1/n) (si veda → O grande), la serie è ...
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algoritmo, stabilita di un
algoritmo, stabilità di un capacità di un algoritmo di fornire in output risultati attendibili quando l’insieme dei dati in input cambia, sia come valori sia come quantità [...] aritmetica finita della macchina. Si consideri, per esempio, un algoritmo per il calcolo della successione delle seguenti sommeparziali, avendo a disposizione 4 cifre per la mantissa; successione che si può scrivere in forma ricorsiva:
Utilizzando ...
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serie
serie successione che consente di generalizzare la nozione di somma al caso di un numero infinito di addendi. Tali addendi possono essere numeri (→ serie numerica) o funzioni (→ serie di funzioni), [...] normato E, legate tra loro dalle formule
Gli elementi an si dicono termini della serie, mentre gli elementi sn si dicono sommeparziali o ridotte n-esime. Una serie si indica con i simboli
a prescindere dalla possibilità che a essi possa essere ...
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serie numerica, velocita di convergenza di una
serie numerica, velocità di convergenza di una informalmente, numero di termini di una serie convergente che occorre considerare per avere una buona approssimazione [...] , cioè che non si debbano calcolare troppi termini per ottenere l’approssimazione richiesta. Se la serie
ha somma S, limite della successione {sn} delle sue sommeparziali, allora, fissato un errore ε > 0, esiste un valore N = N(ε) tale che il ...
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successione
successione funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme). La variabile indipendente n viene usualmente evidenziata in forma di indice (pedice), preferendosi [...] tra successioni e → serie, potendosi associare a una serie la successione delle sue sommeparziali, e viceversa potendo vedere una successione qualsiasi {sn} come successione delle sommeparziali della serie di termine generale an = sn − sn−1 (con a0 ...
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Gregory-Leibniz, serie di
Gregory-Leibniz, serie di in analisi, sviluppo di → Maclaurin della funzione arcotangente:
valido nell’intervallo (−1, 1). Tale sviluppo, descritto da J. Gregory nel 1668, [...] . Esso fu riscoperto da Leibniz nel caso particolare x = 1, che fornisce
Anche se il calcolo del quadruplo delle sommeparziali di questa serie è uno dei metodi per la determinazione di valori approssimati di π, la sua lentissima convergenza non ...
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parziale
agg. [dal lat. tardo partialis, der. di pars partis «parte»]. – 1. a. Che si riferisce solo a una parte, o che costituisce una parte, o si fa solo in parte e sim. (di solito in contrapp. a totale): un’eclissi p. di sole, di luna;...
serie
sèrie s. f. [dal lat. series, der. di serĕre «intrecciare, infilare»]. – 1. Successione ordinata e continua di elementi, concreti o astratti, dello stesso genere: è il quarto nella s. dei papi, degli imperatori romani; la s. dei numeri...