spazionormato
Arrigo Cellina
Uno spazio lineare X su cui sia definita una funzione a valori reali, ∥∙∥, detta norma, con le seguenti proprietà: (a) ∥x∥≥0 e ∥x∥=0 se e solo se x=0; (b) per ogni reale [...] (c) viene detta disuguaglianza triangolare. Si noti che la proprietà (b) implica la simmetria della norma, cioè che ∥x∥=∥−x∥. La norma su uno spazio lineare ha le stesse proprietà del valore assoluto di un numero sui numeri reali.
→ Convessità ...
Leggi Tutto
spazio di Banach
Arrigo Cellina
Uno spazionormato X diventa metrico definendo la distanza tra due punti x e y, indicata con d(x,y), come d(x,y)=∥x−y∥. Se questo spazio metrico è ‘completo’, è cioè [...] tale che ogni successione di Cauchy converge, X viene detto spazio di Banach. I n umeri reali hanno questa proprietà di essere completi e gli spazi di Banach sono le naturali generalizzazioni dell’insieme dei numeri reali.
→ Convessità ...
Leggi Tutto
semigruppo In matematica, insieme in cui è definita un’operazione (o legge di composizione interna) binaria associativa per la quale valgano le due regole di semplificazione a sinistra e a destra, tale [...] , cioè alla ricerca delle soluzioni dell’equazione (d/dt)u(t)=Au(t), con dato iniziale u(0)=u0, in cui u è un elemento di uno spazionormato X e A è un operatore lineare su DA⊂X, si può definire analogamente un s. Ut che, se A è limitato e DA=X, è la ...
Leggi Tutto
Operatori, teoria degli
Helmut H. Schaefer e Manfred P. Wolff
Sommario: 1. Introduzione. 2. Operatori lineari fra spazi di dimensione finita. a) Generalità. b) Operatori hermitiani, normali e unitari. [...] le funzioni continue su L compatto a valori su K con norma ∥f∥ = sup {∣ (f (t)∣ : t ∈ L)} - è uno spazionormato; e se (X, Σ, μ) è uno spazio di misura, lo spazio lineare di tutte le (ovvero, classi di equivalenza di) funzioni X → K p-integrabili ...
Leggi Tutto
Analisi matematica
Jean A. Dieudonné
Alcune delle idee fondamentali che sono alla base del calcolo risalgono ai Greci, ma il loro sviluppo sistematico iniziò soltanto nel XVII secolo. Alla fine di quel [...] che si hanno nel caso a dimensione finita.
La teoria di Riesz-Fredholm degli operatori compatti
Sia E uno spazionormato su ℂ (non necessariamente uno spazio di Banach). Un operatore lineare U in E si dice compatto (o completamente continuo) se fa ...
Leggi Tutto
norma
Luca Tomassini
Sia X uno spazio vettoriale. Un’applicazione ∣∣∙∣∣:X→ℝ si dice una norma se verifica i seguenti assiomi: (a) ∣∣x∣∣≥0, per ogni x∈X; ∣∣x∣∣=0 se e soltanto se x=0; (b) ∣∣λx∣∣=∣λ∣·∣∣x∣∣, [...] possibile definire una distanza (metrica) tramite la formula
d(x1, x2) = ∣∣x1−x2∣∣ x1, x2∈X
e dunque uno spazionormato è uno spazio metrico. Non è vero viceversa. Il concetto di distanza è infatti, da un lato, più generale in quanto essa può ...
Leggi Tutto
punti stazionari
Daniele Cassani
Si consideri un funzionale, ovvero un’applicazione I:E→ℝ, definita su uno spazionormato E. Si ha che I è (Fréchet-) differenziabile in u∈E se esiste un’applicazione [...] lineare L:E→ℝ tale che
e scriviamo L=I′(u), per denotare il differenziale (di Fréchet) del funzionale I nel punto u∈E (si osservi che il differenziale di un applicazione lineare è l’applicazione stessa). ...
Leggi Tutto
vettoriale
vettoriale [agg. Der. di vettore "inerente a vettori"] [ANM] Analisi, o calcolo, v.: la parte della matematica che s'occupa degli algoritmi con i quali si opera sui vettori (a questi si applicano, [...] 0 lo si chiama propriamente euclideo. In uno spazio propriamente euclideo si può definire la norma di un vettore v come ||v||=(v, v)1/2 (uno spazio v. propriamente euclideo è uno spazionormato); ha senso considerare la disuguaglianza di Schwarz: |(v ...
Leggi Tutto
teorema di Mazur
Arrigo Cellina
Proposizione secondo la quale uno spazionormato, un insieme che sia convesso e chiuso è anche chiuso rispetto alla topologia debole. Nella topologia debole si hanno [...] debole. Questo fatto però non si verifica se l’insieme è convesso. Sia X uno spazionormato e xn in X. Diciamo che una successione (xn) converge debolmente a x* se per ogni x′ nello spazio duale X′ si ha che x′(xn)→x′(x*). Il teorema di Mazur afferma ...
Leggi Tutto
normalizzato
normalizzato [agg. Part. pres. di normalizzare (→ normalizzabile)] [LSF] Di ciò che è stato sottoposto a una normalizzazione (←). ◆ [FTC] Di oggetto prodotto secondo norme stabilite. ◆ [ANM] [...] Funzione n.: funzione fN di uno spazionormato con la proprietà che ||fN||=1. Data una funzione f, si ottiene una funzione n. (o, come si dice, si normalizza f) ponendo fN=f/||f||. ◆ [ANM] Misura n.: misura μ su uno spazio Ω avente la proprietà μ(Ω)= ...
Leggi Tutto
normato
agg. [part. pass. di normare]. – Di ente conforme a una norma, a una regola. In matematica, spazio n., spazio vettoriale provvisto di una norma (v. norma, n. 6).
spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...