La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La topologia degli insiemi di punti
Roger Cooke
Brian Griffith
La topologia degli insiemi di punti
La topologia generale o topologia degli insiemi [...] astratto ‒ il 'principio di contrazione' (Banach 1923) ‒ riguardante un'applicazione continua di uno spaziometricocompleto S in sé stesso. In uno spaziocompleto vale anche il teorema di densità di Baire, utilizzato per mostrare che opportune ...
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R
R (insieme dei numeri reali) insieme numerico, denotato con il simbolo R, che comprende tutti i numeri che è possibile scrivere in forma decimale, con parte decimale finita, infinita periodica o infinita [...] di esso a partire dal modulo di un numero reale. Per sua stessa definizione, R, dotato di tale distanza, è uno spaziometricocompleto: ogni successione di Cauchy i cui termini sono numeri razionali o più in generale reali converge a un numero reale ...
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punto fisso
Luca Tomassini
Un punto x di un insieme X tale che F(x)=x per una determinata mappa F:X→X, ovvero di X in sé. Un tale punto si dirà anche punto fisso per F. La dimostrazione dell’esistenza [...] semplice, ma non per questo meno importante, tra i teoremi di punto fisso è il cosiddetto principio delle contrazioni. Siano X uno spaziometricocompleto con metrica ϱ e F:X→X un operatore (detto contrazione) tale che ϱ(F(x),F(y))≤qϱ(x,y) con 0〈q ...
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completezza
completezza termine utilizzato in matematica con diversi significati.
Completezza di un insieme totalmente ordinato (o completezza algebrica)
Un insieme X dotato di un ordinamento totale [...] , relativamente alla distanza ottenuta restringendo a esso quella definita su tutto X (metrica indotta). Ogni spaziometrico X è contenuto in uno spaziometricocompleto Y in modo che la distanza di X coincide con la restrizione a esso della distanza ...
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limitatezza
limitatezza termine usato in matematica con significati diversi. Si definisce limitatezza di un sottoinsieme di un insieme ordinato la proprietà consistente nell’esistenza di → minoranti [...] di ciascuno di essi aventi raggio ε contiene A, si parla di totale limitatezza del sottoinsieme A. Ogni spaziometricocompleto e totalmente limitato è compatto.
Anche per le successioni e le funzioni si parla di limitatezza (→ funzione limitata ...
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Banach-Caccioppoli, teorema di
Banach-Caccioppoli, teorema di detto anche teorema delle contrazioni o teorema di punto fisso, stabilisce che se E è un sottoinsieme chiuso di uno spaziometricocompleto [...] X allora ogni contrazione ƒ: E → E ammette uno e un solo punto fisso, cioè tale che esiste uno e un solo x** dotato della proprietà ƒ(x*) = x**. Questo risultato permette di stabilire l’esistenza e l’unicità ...
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insieme totalmente limitato
insieme totalmente limitato insieme A, sottoinsieme di un insieme ordinato, tale che per ogni ε > 0 esiste un numero finito di punti di A per i quali l’unione degli intorni [...] di ciascuno di essi aventi raggio ε contiene A. Ogni spaziometricocompleto e totalmente limitato è compatto. ...
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spaziometrico
Luca Tomassini
Nozione introdotta nel 1906 da Maurice Fréchet e sviluppata poco dopo da Felix Hausdorff; è un risultato diretto dell’analisi delle principali proprietà astratte della [...] si dice di Cauchy (o fondamentale) se per ogni ε>0 esiste un n0∈ℕ tale che d(xn,xm)〈ε per ogni m,n>0. Uno spaziometrico I si dice completo se ogni successione di Cauchy è convergente, ovvero il suo limite esiste ed è un elemento di I. In uno ...
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spazio euclideo
spazio euclideo spazio ambiente della geometria elementare, definito dagli assiomi della → geometria euclidea. In tal senso, costituisce il primo e forse più significativo esempio di [...] euclidea, i cui aperti sono gli intorni circolari di un qualsiasi punto.
Se rispetto a tale metrica lo spazio euclideo è uno → spaziocompleto, esso è uno spazio di → Hilbert. Due vettori per i quali è nullo il prodotto scalare si dicono ortogonali ...
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spaziometricospaziometrico insieme X in cui è definita una → metrica, cioè una applicazione d: X × X → R che, per ogni x, y, z ∈ X, soddisfa le seguenti proprietà:
• d(x, y) ≥ 0
• d(x, y) = 0 ⇔ x [...] ’elemento x di X se per ogni ε > 0 risulta d(xn, x) < ε almeno da un certo indice in poi. Lo spaziometrico si dice completo se è convergente ogni successione di Cauchy, ossia ogni successione tale che per ogni ε > 0 risulta d(xn, xm) < ε ...
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spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...
punto2
punto2 s. m. [lat. pŭnctum, lat. tardo pŭnctus, der. di pŭngĕre «pungere»: propr. «puntura, forellino»]. – 1. a. Nel cucito e nel ricamo, l’atto del passare il filo attraverso la stoffa e ripassarlo a breve distanza, e il risultato...