La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Il Bourbakismo
Jean-Paul Pier
Il Bourbakismo
L'avvento e l'influenza di Bourbaki costituiscono uno dei fenomeni più sorprendenti nella matematica [...] Il secondo capitolo presenta la teoria delle primitive e degli integrali per le funzioni di una variabile reale a valori in uno spazionormato completo su ℝ. In assenza della nozione di misura, se f:I→ℝ per una parte I di ℝ, la funzione g definita su ...
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Analisi matematica
Jean A. Dieudonné
Alcune delle idee fondamentali che sono alla base del calcolo risalgono ai Greci, ma il loro sviluppo sistematico iniziò soltanto nel XVII secolo. Alla fine di quel [...] che si hanno nel caso a dimensione finita.
La teoria di Riesz-Fredholm degli operatori compatti
Sia E uno spazionormato su ℂ (non necessariamente uno spazio di Banach). Un operatore lineare U in E si dice compatto (o completamente continuo) se fa ...
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Convessità
Arrigo Cellina
La convessità è un concetto della matematica elementare; le parole concavo e convesso fanno parte del linguaggio quotidiano. Eppure questo semplice concetto, unito ad altre [...] è chiuso in questa topologia; si ha però il seguente risultato, pubblicato da Stanislaw Mazur nel 1930.
Teorema. - Sia E uno spazionormato. Un sottoinsieme convesso K di E è chiuso per la topologia debole di E se e solo se è chiuso nella topologia ...
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serie
serie successione che consente di generalizzare la nozione di somma al caso di un numero infinito di addendi. Tali addendi possono essere numeri (→ serie numerica) o funzioni (→ serie di funzioni), [...] di → Taylor).
Formalmente una serie può essere definita mediante una coppia di successioni {an}, {sn} di elementi di uno spazionormato E, legate tra loro dalle formule
Gli elementi an si dicono termini della serie, mentre gli elementi sn si dicono ...
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normanorma applicazione ‖...‖: V → [0, +∞) definita su uno spazio vettoriale reale o complesso e caratterizzata dalle seguenti proprietà:
• ‖v‖ ≥ 0, ∀v ∈ V e ‖v‖ = 0 se e solo se v = 0;
• ‖k ⋅ v‖ = [...] vettoriale. Per esempio, in R n e C n si può definire, oltre alle già citate r-norme, anche una norma infinito:
In uno spazionormato V resta naturalmente definita una metrica definendo la distanza mediante d(u, v) = ‖u − v‖, ∀u, v ∈ V, e quindi ...
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convessita
convessità proprietà di una figura, di un insieme, di una funzione.
☐ In geometria, proprietà di una figura piana o solida consistente nel fatto che qualunque segmento avente per estremi due [...] vettoriale topologico si dice localmente convesso se ogni aperto contiene un sottoinsieme aperto convesso. Ogni spazionormato è localmente convesso. Sussistono teoremi di separazione fra insiemi convessi. Se A è aperto e convesso e B è convesso ...
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successione
successione funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme). La variabile indipendente n viene usualmente evidenziata in forma di indice (pedice), preferendosi [...] successioni di vettori in Rn o Cn), oppure uno spazio funzionale per le → successioni di funzioni, ma può unico punto di accumulazione di N. Per esempio, dire che in uno spazionormato X la successione {xn}n∈N ammette limite x (o, equivalentemente, ...
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norma
Luca Tomassini
Sia X uno spazio vettoriale. Un’applicazione ∣∣∙∣∣:X→ℝ si dice una norma se verifica i seguenti assiomi: (a) ∣∣x∣∣≥0, per ogni x∈X; ∣∣x∣∣=0 se e soltanto se x=0; (b) ∣∣λx∣∣=∣λ∣·∣∣x∣∣, [...] possibile definire una distanza (metrica) tramite la formula
d(x1, x2) = ∣∣x1−x2∣∣ x1, x2∈X
e dunque uno spazionormato è uno spazio metrico. Non è vero viceversa. Il concetto di distanza è infatti, da un lato, più generale in quanto essa può ...
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algebra [struttura]
algebra (struttura) particolare struttura algebrica definita su un campo K; è uno spazio vettoriale A su K dotato di un prodotto interno bilineare ∗: A × A → A (→ applicazione bilineare). [...] la disuguaglianza:
Se l’algebra è unitaria, allora in aggiunta si richiede che la norma soddisfi l’equazione ‖1‖ = 1. Un’algebra normata che, come spazionormato, sia uno spazio di Banach è detta algebra di Banach. Un esempio di algebra di Banach ...
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punti stazionari
Daniele Cassani
Si consideri un funzionale, ovvero un’applicazione I:E→ℝ, definita su uno spazionormato E. Si ha che I è (Fréchet-) differenziabile in u∈E se esiste un’applicazione [...] lineare L:E→ℝ tale che
e scriviamo L=I′(u), per denotare il differenziale (di Fréchet) del funzionale I nel punto u∈E (si osservi che il differenziale di un applicazione lineare è l’applicazione stessa). ...
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normato
agg. [part. pass. di normare]. – Di ente conforme a una norma, a una regola. In matematica, spazio n., spazio vettoriale provvisto di una norma (v. norma, n. 6).
spazio
spàzio s. m. [dal lat. spatium, forse der. di patēre «essere aperto»]. – 1. Con valore assol., il luogo indefinito e illimitato in cui si pensano contenute tutte le cose materiali, le quali, in quanto hanno un’estensione, ne occupano...