Misura e integrazione
M. Evans Munroe
Introduzione
La nozione di integrale viene spesso introdotta considerando il problema di determinare l'area racchiusa da una curva, prendendo un limite di somme [...] di procedimento di passaggio al limite per ottenere una teoria generale soddisfacente.
Sia {Ik} una successione di rettangoli chiusi sul piano. La successione {Ik} si chiama successione regolare convergente a x se: a) x∈Ik per ogni k; b) diam Ik→0; c ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Le origini dell'analisi funzionale
Angus E. Taylor
Le origini dell'analisi funzionale
L'analisi funzionale acquista una precisa identità nel [...] sono tre punti qualsiasi, D(x,z) è minore della somma di D(x,y) e D(y,z). Fréchet definiva poi il concetto di convergenza: una successione {xn} converge a un punto x se e solo se D(xn,x) converge a 0. In questo modo, l'insieme astratto diventa una L ...
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La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] di semicontinuità.
Dato uno spazio astratto U, dotato di una nozione di convergenza, una funzione F definita su U è 'semicontinua inferiormente' se, per ogni u in U e per ogni successione un convergente a u in U, si ha
ogni volta che il limite ...
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Numeri
Umberto Zannier
Quanti? Quanto? Quando? A che distanza? Domande a cui rispondiamo, di solito, con numeri. Di essi facciamo continuo uso, e l’importanza concettuale, oltre che pratica, della nozione [...] è facile capire che esistono i numeri irrazionali: basta produrre una successione infinita ma non periodica di cifre. I greci non se ne approssimazioni successive; è questo un caso di serie convergente, in cui si sommano infiniti addendi che diventano ...
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Analisi matematica
Jean A. Dieudonné
Alcune delle idee fondamentali che sono alla base del calcolo risalgono ai Greci, ma il loro sviluppo sistematico iniziò soltanto nel XVII secolo. Alla fine di quel [...] C∞(X)=ℬ(X)∩C(X)). C∞(X) è un sottospazio vettoriale chiuso di ℬ(X) (cioè, in altre parole, una successione uniformemente convergente di funzioni continue e limitate ha una funzione continua come limite). Lo spazio C∞(X), dotato della norma indotta da ...
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L'Eta dei Lumi: matematica. La teoria dei numeri
Günther Frei
La teoria dei numeri
La teoria dei numeri (o aritmetica) tratta delle proprietà dei numeri. Lungo tutta la sua storia, un tema dominante [...]
Lambert dimostrò anche che lo sviluppo di tanx in frazione continua è convergente, che lo stesso vale per altre funzioni trascendenti, come log(1+x che gli consentì di calcolare i valori s(m) in successione, a partire da s(1)=1. Nel lavoro del 1768 ...
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Analisi non lineare: metodi variazionali
Antonio Ambrosetti
I primi problemi di calcolo delle variazioni si presentano quasi spontaneamente, anche nello studio della geometria elementare e hanno infatti [...] (PSc): ogni succesione tale che f(xk)→c e ∇f(xk)→0 ha una sottosuccessione convergente xk→p.
Naturalmente, p è un punto critico per f. In pratica basterà provare che ogni successione per cui f(xk)→c e ∇f(xk)→0 è limitata. Nell'esempio precedente la ...
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Matematica: problemi aperti
Claudio Procesi
Prima di parlare dei problemi aperti nella matematica è bene riflettere su quelli che ne hanno segnato la storia passata. Sono infatti proprio questi che [...] che la serie ζ(s)=∑∞n=11/ns (con s variabile complessa) è convergente non appena la parte reale Re(s)>1. Riemann prova che la esempio, nel caso f(t)=−t2−2t+1 una tale successione è data da
[13] formula.
Ovviamente infiniti programmi distinti ...
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Computazionali, metodi
Alfio Quarteroni
I metodi computazionali permettono di risolvere con i computer, nell'ambito delle scienze applicate, problemi complessi formulabili tramite il linguaggio della [...] ; (4) approssimare soluzioni di relazioni funzionali (lineari e non) attraverso successioni il cui termine generale sia facile da ottenere e la cui velocità di convergenza sia la più elevata possibile; (5) decomporre matrici di struttura generale ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Teoria analitica dei numeri
Günther Frei
Teoria analitica dei numeri
La teoria analitica dei numeri non è una teoria matematica ben definita, [...] del numero p(n) dei modi di scrivere un numero naturale n come somma di una successione non crescente di numeri naturali; per esempio, 5=4+1=3+2=3+1+1=2 dimostrò nel 1879 che (1) ζk(s) è assolutamente convergente per Re(s)>1; (2) ζk(s) ammette ...
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convergente
convergènte agg. e s. m. [part. pres. di convergere]. – 1. agg. Che converge, cioè si dirige a un medesimo fine o punto: linee c.; strade c.; due fasci di luce convergenti; e in senso fig.: azioni, interessi convergenti. 2. agg....
successione
successióne s. f. [dal lat. successio -onis, der. di succedĕre «succedere»]. – 1. Il succedere ad altri, cioè il subentrare, il prendere il posto di un altro in una carica, in un ufficio, in un titolo, nella proprietà di un bene,...