La civilta islamica: antiche e nuove tradizioni in matematica. L'algebra e il suo ruolo unificante
Roshdi Rashed
L'algebra e il suo ruolo unificante
La seconda metà del VII sec. vede il costituirsi [...]
[57] f′(x)=b−2ax−3x2=0,
allora f(x0)è il massimo di f(x)nell'intervallo considerato. Osserviamo che le due uguaglianze corrispondono allo sviluppodiTaylor con
Il procedimento di al-Ṭūsī consiste dunque nell'ordinare f(x0+y) e f(x0−y) secondo ...
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L'Eta dei Lumi: matematica. I metodi numerici
Peter Schreiber
I metodi numerici
Il XVII sec. è stato in generale un 'secolo geometrico'. A parte alcune considerazioni di carattere puramente numerico, [...] scontata. Anche per Lagrange, che nel 1797 darà la prima formula per il resto interrompendo lo sviluppodiTaylor dopo un numero finito di termini, questa convergenza era ovvia. La possibilità che la serie potesse non convergere, o convergere verso ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Teoria analitica dei numeri
Günther Frei
Teoria analitica dei numeri
La teoria analitica dei numeri non è una teoria matematica ben definita, [...] per s≥5, ma anche per s=2,3,4, soprattutto per mezzo di funzioni ellittiche e funzioni θ. Esse si basano sulla scoperta di Jacobi che rs(n) è il coefficiente di xn=eπinτ nello sviluppodiTaylor della funzione θ:
dove θ(x)=θ3(0∣τ) converge per ∣x ...
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L'Ottocento: matematica. Metodi del calcolo numerico
Dominique Tournès
Metodi del calcolo numerico
Prima del 1870 l'analisi numerica non si era ancora sviluppata come disciplina autonoma; esisteva [...] .
Si incontra anche, ma raramente perché il calcolo delle derivate successive è proibitivo, il metodo di Euler con uno sviluppodiTaylor spinto oltre il primo ordine, cioè:
Tutti questi algoritmi erano già stati descritti e utilizzati da ...
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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Calcolo delle variazioni
Craig Fraser
Mario Miranda
Calcolo delle variazioni
Tra il 1870 e il 1920 si assiste al consolidamento degli argomenti [...] Euler fornì quella che doveva diventare l'espressione analitica standard di δy: data una classe di confronto di curve della forma y(x,t), si prenda per δy(x) il primo termine dello sviluppodiTaylordi y(x+t)−y(x):
Legendre per primo si accorse ...
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equazione differenziale
equazione differenziale equazione che stabilisce un legame tra una o più funzioni incognite e una o più delle loro derivate (parziali se le variabili indipendenti sono più di [...] un punto) delle soluzioni, tramite il corrispondente sviluppodiTaylor (→ Taylor, serie di). Il metodo si può estendere a equazioni di ordine superiore o a sistemi di equazioni differenziali (→ sistema differenziale), in particolare al caso autonomo ...
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numero di condizionamento
Alfio Quarteroni
Si consideri il problema di trovare u tale che F(u,d)=0, dove d è l’insieme dei dati da cui dipende la soluzione e F esprime la relazione (detta anche legge [...] d) e analogamente si abbia un=Fn(dn) per il modello numerico. Se le leggi f e fn sono differenziabili, applicando uno sviluppodiTaylor arrestato al primo termine si ottengono le seguenti stime per K(d) e Kn(dn):
e, analogamente,
Se l’insieme Dn ...
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Eulero, metodo di
Eulero, metodo di (per la risoluzione di una equazione differenziale) procedimento numerico per la ricerca della soluzione approssimata di una equazione differenziale. In particolare, [...] . Nel caso in questione, l’errore che si commette usando il metodo di Eulero si ricava dai primi due termini dello sviluppodi → Taylor della funzione y(x) nel punto di ascissa xi :
per cui operando la sostituzione derivata dalla (1) nel secondo ...
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matrice hessiana
matrice hessiana di una funzione ƒ: Rn → R, due volte differenziabile, è la matrice H delle sue derivate seconde:
Il determinate della matrice hessiana è detto determinante hessiano [...] è una matrice simmetrica. Se dx ∈ Rn indica il vettore incremento delle variabili indipendenti, il differenziale secondo di ƒ è dato da
per cui lo sviluppodi → Taylordi ƒ nell’intorno di un punto x è dato da
dove Dƒ(x) è la → matrice jacobiana ...
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Cauchy, formule integrali di
Cauchy, formule integrali di formule che esprimono il valore di una funzione olomorfa ƒ(z) in ogni punto interno a un dominio del piano complesso mediante i valori assunti [...] se il dominio non è semplicemente connesso a patto di percorrere la frontiera nel verso che lascia Ω a di olomorfia; da esse si ricavano sia lo sviluppodiTaylordi ƒ(z) in un intorno di un punto di regolarità (→ Taylor, serie di) sia lo sviluppodi ...
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stenografia
stenografìa s. f. [comp. di steno- e -grafia, sul modello dell’ingl. stenography]. – 1. Scrittura manuale abbreviata rispetto alla grafia alfabetica, realizzata con segni particolari e opportune norme abbreviative della parola...