Tichonov, spazio di
Tichonov, spazio di
Tichonov, spazio di o spazio completamente regolare, spazio topologico X che soddisfa l’assioma (T1) di → separazione ed è tale che per ogni chiuso A di X e ogni punto x non appartenente ad A, esiste una funzione continua ƒ: X → I, con I = {0, 1} tale che ƒ(x) = 0 e ƒ(y) =1 per ogni y ∈ A. Uno spazio di questo tipo è anche detto separato da una funzione. Se X è completamente regolare (o di Tichonov), ogni spazio omeomorfo a X è completamente regolare. Uno spazio di Tichonov ha condizioni minime di regolarità: ogni spazio topologico completamente regolare è uno spazio topologico regolare. Inoltre uno spazio topologico normale è uno spazio di Tichonov (basta tenere conto del lemma di → Uryson, quando i chiusi disgiunti sono x e A). Esistono invece spazi topologici regolari che non sono spazi completamente regolari e spazi completamente regolari che non sono normali. Uno spazio di Tichonov ha anche condizioni di “trattabilità” perché la sua struttura è preservata nelle comuni operazioni topologiche; per esempio, un sottospazio di uno spazio di Tichonov è ancora uno spazio di Tichonov così come il prodotto di due spazi di Tichonov. In generale, il prodotto cartesiano di un numero arbitrario (anche infinito) di spazi topologici compatti è compatto (→ compattezza). La dimostrazione di questo teorema richiede l’assioma della → scelta, e il suo enunciato è in realtà equivalente a tale assioma.