spazio Lp(Ω)

spazio Lp (O)

spazio L^p(Ω) con Ω sottoinsieme misurabile di Rⁿ, spazio vettoriale delle funzioni ƒ misurabili secondo Lebesgue per le quali l’integrale

Se p ≥ 1, lo spazio è normato, con norma

e completo in tale norma e quindi è uno spazio di → Banach. Se p ∈ (0, 1), lo spazio è ancora vettoriale, ma l’espressione precedente non rappresenta una norma, perché non è soddisfatta la disuguaglianza triangolare. Lo spazio L^∞(Ω) costituito dalle funzioni essenzialmente limitate è di Banach con norma

La notazione «ess sup» che compare nella formula indica l’estremo superiore essenziale della funzione |ƒ(x)|, cioè l’estremo superiore a meno di un insieme di misura nulla:

Si osserva che gli elementi di L^p sono in realtà classi di equivalenza di funzioni rispetto alla relazione di uguaglianza quasi ovunque (q.o.), cioè s’intendono equivalenti due funzioni che coincidono, escluso al più un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. Se 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ e Ω è limitato, risulta L^q(Ω) ⊂ L^p(Ω), con immersione continua; altrimenti non esiste alcuna inclusione. Tuttavia se x ∈ L^q(Ω) ∩ L^p(Ω), allora x ∈ L^r(Ω), per ogni r ∈ (p, q).

Se p e p′ soddisfano l’uguaglianza

essi si dicono esponenti coniugati; per p < ∞ il duale di L^p(Ω) è L^p′ (Ω), e quindi se 1 < p < ∞ gli spazi L^p sono riflessivi. Se g ∈ L^p′, risulta

(→ Hölder, disuguaglianza di). In particolare, lo spazio L²(Ω) è uno spazio di → Hilbert.