spazio separabile
spazio separabile
Un insieme A è detto di cardinalità numerabile se esso può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali positivi ℕ. Esempi di insiemi numerabili sono appunto gli interi positivi ℕ o i numeri razionali ℚ; un esempio di insieme di cardinalità non numerabile è quello dei numeri reali ℝ. Uno spazio topologico X, cioè un insieme X sul quale sia assegnata una topologia, è detto separabile se in esso esiste un sottoinsieme A numerabile che sia ovunque denso. In altre parole, deve esistere un sottoinsieme numerabile A di X la cui chiusura Ā coincida con X stesso o equivalentemente per ogni x∈X deve essere possibile trovare una successione di elementi an∈A (con A di cardinalità numerabile) convergente a x nella topologia assegnata. La chiusura dell’insieme ℕ visto come sottoinsieme di ℝ (dotato della topologia naturale generata dagli intervalli aperti) coincide con ℕ stesso: ℕ non è dunque ovunque denso in ℝ. Al contrario, la chiusura di ℚ coincide con ℝ, che è dunque uno spazio separabile. Gli spazi separabili sono di grande importanza nelle applicazioni poiché per es. l’approssimabilità dei loro elemento con successioni (numerabili) è condizione necessaria per impostare qualunque calcolo numerico, ma sono ben lontani dall’esaurire le classi di spazi topologici di interesse in matematica.